Come risolvere un puzzle scorrevole: 3x3, 4x4 e 5x5 passo passo

Per risolvere un puzzle scorrevole, completa la riga in alto, poi quella sotto, e vai avanti finché restano solo due righe; completa queste due una colonna alla volta partendo da sinistra, e l'ultimo quadrato 2×2 si risolve da solo quando ci fai girare intorno il buco. L'unico trucco che ti serve riguarda le ultime due tessere di ogni riga e di ogni colonna, che entrano insieme come coppia impilata invece che una alla volta.

Il metodo è tutto qui, e funziona allo stesso modo su un 3×3, un 4×4 e un 5×5. Qui sotto lo trovi spiegato mossa per mossa, insieme al controllo di parità che ti dice se una plancia si può risolvere oppure no, e al piano diverso che serve per il Klotski e per i puzzle di fuga con le auto, dove i pezzi hanno misure diverse. Se vuoi una plancia su cui provarlo, giocane uno qui: il nostro Sliding Puzzle gratuito gira nel browser in 3x3, 4x4 e 5x5, e ogni mescolata che distribuisce è risolvibile.

Le regole: un solo quadrato vuoto, e metà delle mescolate non si può risolvere

Un puzzle a tessere scorrevoli è un telaio quadrato di tessere numerate a cui manca un posto. Fai scorrere nel buco una qualsiasi delle tessere che gli stanno accanto, e l'obiettivo è avere le tessere in ordine, da sinistra a destra e dall'alto in basso, con il buco nell'angolo in basso a destra. La versione 3×3 è il gioco dell'otto, il 4×4 è il gioco del 15 e il 5×5 è il gioco del 24: il nome viene da quante tessere contengono.

Estrai le tessere e rimettile a caso, ed esattamente metà delle disposizioni che puoi ottenere non si potrà mai risolvere. Lo scorrimento non cambia mai una grandezza nascosta chiamata parità, e la puoi controllare con una matita. Leggi le tessere da sinistra a destra e dall'alto in basso, saltando il buco, e conta ogni coppia in cui un numero più grande viene prima di uno più piccolo. Ognuna di queste coppie è un'inversione.

• Larghezze dispari (3×3, 5×5): il puzzle è risolvibile esattamente quando il numero di inversioni è pari.
• Larghezze pari (4×4): aggiungi la riga in cui si trova il buco, contando le righe da 1 a 4 dall'alto. Il puzzle è risolvibile esattamente quando quel totale è pari. (Se conti le righe dal basso, ti serve invece un totale dispari. Stessa regola, vista a testa in giù.)

Un esempio svolto sul 3×3. Prendi la plancia 1 3 _ / 4 2 5 / 7 8 6, con il buco in alto a destra. Leggendola ottieni 1, 3, 4, 2, 5, 7, 8, 6. Le inversioni sono 3 prima di 2, 4 prima di 2, 7 prima di 6 e 8 prima di 6: quattro, un numero pari, quindi si può risolvere. Bastano quattro mosse: fai scorrere il 3 a destra, il 2 in su, il 5 a sinistra e il 6 in su. Ora prendi una plancia risolta e scambia il 7 con l'8. È una sola inversione, dispari, e nessuna sequenza di scorrimenti la sistemerà mai.

È stata la versione 4×4 di questa trappola a rendere famoso il gioco del 15. Nel 1880 negli Stati Uniti era una mania, e l'autore di enigmi Sam Loyd sostenne in seguito di aver offerto un premio di $1,000 per chi fosse riuscito a partire da una plancia risolta con il 14 e il 15 scambiati e a rimetterli a posto. Un'inversione, più il buco nella riga 4, fa 5: dispari, quindi impossibile. Quei soldi non hanno mai corso alcun rischio. Qualsiasi puzzle digitale fatto come si deve si mescola da solo con mosse legali a partire da una plancia risolta, quindi quello sul tuo schermo ha una soluzione. Uno fisico che qualcuno in famiglia ha smontato a forza potrebbe non averla.

Il 3×3 (gioco dell'otto) si risolve in quattro fasi

Le righe sono numerate dall'alto e le colonne da sinistra. “Bloccare” significa che da quel momento il buco non passa mai più per quei quadrati.

1. La tessera 1 a casa. Fai girare il buco per portare l'1 nell'angolo in alto a sinistra. Bloccala.
2. Tessere 2 e 3 come coppia impilata. Metti il 2 nell'angolo in alto a destra (il posto del 3, non il suo) e il 3 subito sotto, nella riga 2, colonna 3. Porta il buco nel quadrato centrale in alto passando dalla riga 2, mai attraverso l'angolo. Fai scorrere il 2 a sinistra, poi il 3 in su. Riga in alto fatta. Bloccala.
3. Tessere 4 e 7 come coppia impilata, di lato. Metti il 7 al posto del 4 (riga 2, colonna 1) e il 4 subito alla sua destra, al centro. Porta il buco nell'angolo in basso a sinistra passando dalla riga in basso. Fai scorrere il 7 in giù, poi il 4 a sinistra. Colonna di sinistra fatta. Bloccala.
4. Tessere 5, 6 e 8: ruota. Quello che resta è un quadrato 2×2 con tre tessere e il buco. Fai girare il buco intorno al quadrato sempre nello stesso senso e le tre tessere ruotano finché non vanno a posto. Nel senso giusto non servono mai più di sei mosse; se il primo giro non porta da nessuna parte, vai nell'altro senso.

Il motivo della coppia impilata: se metti prima a casa il 2, l'unica strada del 3 verso l'angolo passa dal posto del 2, quindi piazzare il 3 fa saltare via il 2. Se prima li impili e poi ruoti, vanno a posto tutti e due in due scorrimenti. Quasi tutti provano parecchie volte la versione una alla volta prima di crederci. Noi l'abbiamo provata più di quasi tutti.

Il 4×4 (gioco del 15): due righe, due colonne, poi una rotazione

Il gioco del 15 è lo stesso piano con una fase in più. Risolvi la riga 1 (tessere da 1 a 4) e la riga 2 (da 5 a 8) come righe, poi le ultime due righe colonna per colonna: 9 e 13, poi 10 e 14, poi fai ruotare a casa 11, 12 e 15 nell'ultimo 2×2. In ogni riga le prime due tessere sono facili: portale a casa una alla volta. Solo l'ultima coppia ha bisogno del trucco.

Le ultime due tessere di una riga, mossa per mossa

Ecco come si fa per la riga 1, con le tessere 1 e 2 già a casa e bloccate.

1. Per prima cosa togli di mezzo la tessera 4. Se il 4 è nella riga 1 o nella riga 2, spostalo giù nella riga 3 o più in basso. Così non scivola nel quadrato sbagliato al passaggio 2.
2. Metti la tessera 3 nell'angolo in alto a destra (riga 1, colonna 4), che è il posto del 4, non del 3.
3. Porta la tessera 4 nel quadrato subito sotto (riga 2, colonna 4), muovendo solo tessere delle righe da 2 a 4, così il 3 resta nell'angolo.
4. Porta il buco nella riga 2, colonna 3, accanto alla tessera 4, sempre senza toccare la riga 1. Poi fai scendere nel buco la tessera che si trova nella riga 1, colonna 3. Ora il buco è al posto del 3, con il 3 alla sua destra e il 4 sotto il 3.
5. Fai scorrere il 3 a sinistra. Fai scorrere il 4 in su. La riga 1 è finita. Bloccala.

La riga 2 funziona allo stesso modo: il 5 e il 6 entrano uno alla volta, poi il 7 va nella riga 2, colonna 4, con l'8 sotto, nella riga 3, colonna 4, il buco nella riga 2, colonna 3, e gli stessi due scorrimenti: 7 a sinistra, 8 in su.

Le ultime due righe, una colonna alla volta

Con le righe 1 e 2 bloccate, restano due righe da quattro: 9, 10, 11, 12 sopra 13, 14, 15 e il buco. Qui le righe non funzionerebbero, perché non c'è una riga libera dove parcheggiare le tessere, quindi procedi per colonne, con lo stesso trucco della coppia girato di lato.

1. Colonna 1 (tessere 9 e 13). Metti il 13 al posto del 9 (riga 3, colonna 1) e il 9 subito alla sua destra (riga 3, colonna 2). Porta il buco lungo la riga 4 fino alla riga 4, colonna 1. Fai scorrere il 13 in giù, poi il 9 a sinistra. Blocca la colonna.
2. Colonna 2 (tessere 10 e 14). Di nuovo lo stesso, una colonna più in là: il 14 nella riga 3, colonna 2, il 10 nella riga 3, colonna 3, il buco nella riga 4, colonna 2. Fai scorrere il 14 in giù e il 10 a sinistra. Bloccala.
3. L'ultimo 2×2 (11, 12 e 15). Fai girare il buco intorno al quadrato finché tutte e tre non vanno a posto, esattamente come sul 3×3. Se la mescolata era legale, ci andranno.

Questo metodo è affidabile, non breve. Un computer che cerca il percorso più corto non ha mai bisogno di più di 80 mosse di una tessera per nessun gioco del 15, e solo 17 posizioni le richiedono tutte e 80. Riga per riga ne servono di più, ma puoi farlo senza fermarti a pensare, e per una persona questo conta molto più del numero di mosse.

Il 5×5 (gioco del 24) è un 4×4 con una riga e una colonna in più

Ogni plancia più grande si riduce a quella più piccola. Su un 5×5, risolvi la riga 1 (tessere da 1 a 5, con il 4 e il 5 come coppia impilata), poi la colonna di sinistra sotto di essa (6, 11, 16 e 21, con il 16 e il 21 come coppia di lato: il 21 al posto del 16, il 16 alla sua destra, il buco sotto, fai scendere il 21 e scorrere il 16 a sinistra). Bloccale entrambe, e quello che resta è un 4×4 fatto delle tessere da 7 a 10, da 12 a 15, da 17 a 20 e da 22 a 24. Risolvilo esattamente come sopra, leggendo i numeri come posizioni invece che da 1 a 15.

Puoi anche andare semplicemente avanti riga per riga fino alla riga 3 e poi risolvere le ultime due righe per colonne: entrambe le strade finiscono nella stessa rotazione del 2×2. Il 5×5 ha circa 7.76×10²⁴ disposizioni raggiungibili, e nessuno ha ancora stabilito quante mosse richieda, al massimo, la peggiore. I limiti più recenti che abbiamo trovato, del 2016, la collocano tra 152 e 205 mosse di una tessera.

Il Klotski e i puzzle di fuga con le auto richiedono un altro metodo

Il metodo riga per riga funziona solo quando tutti i pezzi hanno la stessa misura. Il Klotski, e tutta la famiglia di puzzle a blocchi scorrevoli a cui appartiene, mescola pezzi di forme diverse, e non c'è nessuna riga da completare perché nessun pezzo ha una casa numerata. Conta un solo pezzo: quello che stai cercando di far uscire.

La posizione di partenza classica del Klotski è un telaio 4×5 con dieci pezzi: un grosso blocco 2×2 in alto al centro, un blocco 2×1 sdraiato sotto di lui, due quadratini 1×1 sotto quello e, lungo ciascun lato, due blocchi 1×2 in piedi con un quadratino 1×1 in fondo. I due quadrati vuoti stanno vicini, in basso al centro. L'obiettivo è portare il blocco 2×2 in basso al centro e farlo uscire dall'apertura nel telaio. In Cina lo stesso puzzle si chiama Huarong Dao, e il blocco grande è il signore della guerra Cao Cao in fuga: parecchia trama per qualche pezzo di legno.

1. Prima pianifica il percorso del pezzo da liberare. Traccia quadrato per quadrato la strada che il blocco grande (o l'auto in fuga) deve fare fino all'uscita, prima di muovere qualsiasi cosa.
2. Lavora all'indietro partendo dall'uscita. Per il prossimo passo su quella strada, chiediti cosa deve essere libero, quale pezzo è d'intralcio e dove può andare quel pezzo. Poi chiediti la stessa cosa per qualunque cosa intralci lui. Quella catena è il vero puzzle.
3. Nel Klotski tieni insieme i due buchi. Un blocco verticale 1×2 può spostarsi di lato solo in due quadrati vuoti uno sopra l'altro, quello orizzontale 2×1 ne vuole due affiancati per salire o scendere, e il blocco grande ne ha sempre bisogno di due. Separare i buchi lascia bloccata metà dei pezzi.
4. Conta le mosse come pezzi spostati, non come quadrati. Nel Klotski, un pezzo che scorre in un qualsiasi punto raggiungibile è una mossa, e con questo conteggio la partenza classica ne richiede almeno 81. Un piano come “questo blocco contro la parete di sinistra” è più facile da tenere a mente di un elenco di singoli passi.

I puzzle scorrevoli con le auto, la famiglia di Rush Hour, aggiungono un'altra regola: ogni veicolo è vincolato alla propria corsia, quindi un'auto messa di traverso sulla plancia può andare solo a destra e a sinistra. Questo rende la catena all'indietro ancora più utile, perché ogni ostacolo ha pochi posti in cui può finire. Una volta capito questo, il passo successivo è ridurre il numero di mosse, che è un'abilità a parte: ne parliamo in Più veloce nei puzzle Rush Hour.

3x3, 4x4, 5x5 e Klotski a confronto

Gli errori comuni che lasciano una plancia irrisolta

• Piazzare una alla volta le ultime due tessere di una riga. La seconda fa sempre saltare la prima. Impilale e ruota.
• Lasciare che il buco torni a vagare in una riga finita. Ogni viaggio lassù disfa il lavoro fatto. Se un percorso lo richiede, trova un altro percorso.
• Risolvere le ultime due righe come righe. Non c'è nessun posto dove parcheggiare una tessera. Passa alle colonne quando restano due righe.
• Trattare l'ultimo 2×2 come tre tessere separate. È un'unica rotazione. Fai il giro e, se il primo giro non serve a niente, vai nell'altro senso.
• Sbagliare il conto della parità. Non contare il buco come una tessera e, sul 4×4, non dimenticare di aggiungere la riga del buco.
• Separare i due buchi nel Klotski. Per muoversi, i blocchi più grandi hanno bisogno di tutti e due, affiancati.

Dove giocare online a un puzzle scorrevole: il nostro gioco del 15 gratuito, poi Car Parking

La plancia per il metodo qui sopra è il nostro Sliding Puzzle, gratis nel browser senza download né registrazione. Scegli un 3×3, un 4×4 o un 5×5, con tessere numerate o un'immagine a tema colpo grosso, e ogni mescolata viene controllata per la parità prima che tu la veda, così non ti capita mai una della metà impossibile. Puoi annullare le mosse senza limiti, e il gioco conserva il tuo miglior numero di mosse e il tuo miglior tempo per ogni misura. Il suo limite: quei record restano salvati nel tuo browser, quindi se cancelli i dati del sito o giochi in una finestra privata spariscono.

Per il ramo Klotski e Rush Hour della famiglia, prova Car Parking: un parcheggio 6×6, un'auto dorata chiusa dal traffico e ogni veicolo vincolato alla propria corsia. Una mossa è un veicolo che si parcheggia in un posto nuovo, per quanto lontano sia scivolato, e ognuno dei 240 livelli mostra un par che è la soluzione più breve trovata dal nostro risolutore, con tre suggerimenti per livello. Allena il metodo all'indietro dall'uscita, non quello riga per riga. Getaway Garage sposta tutti i veicoli insieme a ogni swipe ed elimina i tris dello stesso colore, il che lo rende un puzzle ancora diverso, e se vuoi il retroscena, il nostro articolo Storia dei puzzle dell'ingorgo parte proprio dalla mania del gioco del 15.

La regola per decidere è breve. Se tutti i pezzi hanno la stessa misura, completa le righe dall'alto, passa alle colonne per le ultime due righe e ruota il quadrato finale. Se i pezzi sono diversi, scegli l'unico pezzo che deve scappare e pianifica all'indietro dall'uscita. Prova il primo metodo su uno Sliding Puzzle 4×4 e il secondo in Car Parking, entrambi gratis nel browser.