स्लाइडिंग पज़ल कैसे हल करें: 3x3, 4x4 और 5x5 स्टेप-बाय-स्टेप

स्लाइडिंग पज़ल हल करने के लिए पहले सबसे ऊपर की पंक्ति पूरी करें, फिर उसके नीचे वाली, और ऐसे ही चलते रहें जब तक सिर्फ़ दो पंक्तियाँ न बचें। इन दो पंक्तियों को बाईं ओर से एक-एक कॉलम करके पूरा करें, और आख़िरी 2×2 चौकोर तब अपने-आप हल हो जाता है जब आप ख़ाली जगह को उसके चारों ओर घुमाते हैं। जो एक तरकीब आपको चाहिए, वह हर पंक्ति और हर कॉलम की आख़िरी दो टाइलों के लिए है: ये एक-एक करके नहीं, बल्कि एक के ऊपर एक रखी जोड़ी की तरह साथ में अपनी जगह जाती हैं।

पूरा तरीक़ा बस इतना ही है, और यह 3×3, 4×4 और 5×5 पर एक जैसा चलता है। नीचे इसे चाल-दर-चाल समझाया गया है, साथ में वह पैरिटी जाँच जो बताती है कि बोर्ड हल हो भी सकता है या नहीं, और Klotski व कार-एस्केप पज़ल के लिए वह अलग योजना, जहाँ टुकड़े अलग-अलग साइज़ के होते हैं। आज़माने के लिए बोर्ड चाहिए, तो यहाँ खेलें: हमारा फ़्री Sliding Puzzle ब्राउज़र में 3x3, 4x4 और 5x5 में चलता है, और इसका हर शफ़ल हल हो सकता है।

नियम: एक ख़ाली जगह, और आधे शफ़ल कभी हल नहीं हो सकते

स्लाइडिंग टाइल पज़ल नंबर वाली टाइलों का एक चौकोर फ़्रेम है जिसमें एक जगह ख़ाली होती है। ख़ाली जगह के बग़ल वाली कोई भी टाइल आप उसमें खिसका सकते हैं, और लक्ष्य है टाइलों को बाएँ से दाएँ और ऊपर से नीचे क्रम में लगाना, ख़ाली जगह नीचे दाएँ कोने में। 3×3 वर्शन को 8 पज़ल, 4×4 को 15 पज़ल और 5×5 को 24 पज़ल कहते हैं, उनमें मौजूद टाइलों की गिनती के हिसाब से।

टाइलें निकालकर उन्हें बेतरतीब ढंग से वापस लगा दें, तो जितनी व्यवस्थाएँ बन सकती हैं उनमें से ठीक आधी कभी हल नहीं होंगी। खिसकाने से एक छिपी हुई गिनती कभी नहीं बदलती, जिसे पैरिटी कहते हैं, और इसे आप पेंसिल से जाँच सकते हैं। ख़ाली जगह को छोड़कर टाइलों को बाएँ से दाएँ, ऊपर से नीचे पढ़ें, और हर वह जोड़ी गिनें जिसमें बड़ा नंबर छोटे नंबर से पहले आता है। ऐसी हर जोड़ी एक इनवर्शन है।

• विषम चौड़ाई (3×3, 5×5): पज़ल ठीक तभी हल हो सकता है जब इनवर्शन की गिनती सम हो।
• सम चौड़ाई (4×4): ख़ाली जगह जिस पंक्ति में है, उसका नंबर जोड़ें, ऊपर से पंक्तियाँ 1 से 4 गिनते हुए। पज़ल ठीक तभी हल हो सकता है जब यह कुल योग सम हो। (पंक्तियाँ नीचे से गिनें तो योग विषम चाहिए। नियम वही, बस उल्टी तरफ़ से।)

3×3 का एक हल किया हुआ उदाहरण। बोर्ड 1 3 _ / 4 2 5 / 7 8 6 लें, जिसमें ख़ाली जगह ऊपर दाईं ओर है। क्रम से पढ़ने पर मिलता है 1, 3, 4, 2, 5, 7, 8, 6। इनवर्शन हैं 2 से पहले 3, 2 से पहले 4, 6 से पहले 7 और 6 से पहले 8: कुल चार, जो सम है, इसलिए यह हल हो सकता है। इसमें चार चालें लगती हैं: 3 को दाएँ, 2 को ऊपर, 5 को बाएँ और 6 को ऊपर खिसकाएँ। अब एक हल हो चुका बोर्ड लें और 7 व 8 की अदला-बदली कर दें। यह एक इनवर्शन है, यानी विषम, और कितना भी खिसका लें, यह कभी ठीक नहीं होगा।

इसी जाल के 4×4 वर्शन ने 15 पज़ल को मशहूर बनाया। 1880 में अमेरिका में इसकी ज़बरदस्त दीवानगी थी, और पज़ल लेखक Sam Loyd ने बाद में दावा किया कि उन्होंने $1,000 का इनाम रखा था, उस व्यक्ति के लिए जो 14 और 15 की अदला-बदली वाले हल हो चुके बोर्ड से शुरू करके उन्हें सही कर दे। एक इनवर्शन, साथ में पंक्ति 4 में ख़ाली जगह, कुल 5: विषम, यानी नामुमकिन। इनाम की रक़म को कभी कोई ख़तरा नहीं था। कोई भी ठीक-ठाक बना डिजिटल पज़ल हल हो चुके बोर्ड से सही चालें चलकर ख़ुद को शफ़ल करता है, इसलिए आपकी स्क्रीन वाले पज़ल का हल मौजूद है। जिस असली पज़ल को किसी भाई-बहन ने खोलकर बिखेर दिया हो, उसका शायद न हो।

3×3 (8 पज़ल) चार चरणों में हल होता है

पंक्तियाँ ऊपर से और कॉलम बाईं ओर से गिने गए हैं। “लॉक” का मतलब है कि उसके बाद ख़ाली जगह कभी उन खानों से होकर नहीं गुज़रेगी।

1. टाइल 1 अपनी जगह पर। ख़ाली जगह को घुमा-घुमाकर 1 को ऊपर बाएँ कोने में लाएँ। उसे लॉक करें।
2. टाइल 2 और 3 एक के ऊपर एक रखी जोड़ी की तरह। 2 को ऊपर दाएँ कोने में रखें (यह 3 का खाना है, उसका अपना नहीं) और 3 को ठीक उसके नीचे, पंक्ति 2, कॉलम 3 में। ख़ाली जगह को पंक्ति 2 के रास्ते ऊपर बीच वाले खाने में लाएँ, कोने से होकर कभी नहीं। 2 को बाईं ओर खिसकाएँ, फिर 3 को ऊपर। सबसे ऊपर की पंक्ति पूरी। उसे लॉक करें।
3. टाइल 4 और 7 बग़ल-बग़ल रखी जोड़ी की तरह। 7 को 4 के खाने (पंक्ति 2, कॉलम 1) में रखें और 4 को ठीक उसके दाईं ओर, बीच में। ख़ाली जगह को सबसे नीचे की पंक्ति से होते हुए नीचे बाएँ कोने में लाएँ। 7 को नीचे खिसकाएँ, फिर 4 को बाईं ओर। बायाँ कॉलम पूरा। उसे लॉक करें।
4. टाइल 5, 6 और 8: घुमाएँ। अब जो बचा है वह 2×2 का चौकोर है जिसमें तीन टाइलें और ख़ाली जगह है। ख़ाली जगह को एक ही दिशा में उसके चारों ओर घुमाएँ और तीनों टाइलें तब तक चक्कर लगाती हैं जब तक अपनी जगह न पहुँच जाएँ। सही दिशा में कभी छह से ज़्यादा चालें नहीं लगतीं। अगर पहले चक्कर में कुछ न हो, तो दूसरी दिशा में घुमाएँ।

जोड़ी को एक के ऊपर एक रखने की वजह: अगर आप पहले 2 को उसकी जगह लगा दें, तो 3 के कोने तक पहुँचने का इकलौता रास्ता 2 के खाने से होकर जाता है, यानी 3 को लगाते ही 2 बाहर निकल जाता है। पहले दोनों को एक के ऊपर एक रखकर घुमाने से दोनों दो चालों में अपनी जगह पहुँच जाते हैं। ज़्यादातर लोग इस पर यक़ीन करने से पहले कई बार एक-एक करके लगाने की कोशिश करते हैं। हमने औरों से कुछ ज़्यादा ही बार की।

4×4 (15 पज़ल): दो पंक्तियाँ, दो कॉलम, फिर घुमाव

15 पज़ल में भी वही योजना है, बस एक चरण ज़्यादा। पंक्ति 1 (टाइल 1 से 4) और पंक्ति 2 (5 से 8) को पंक्तियों की तरह हल करें, फिर नीचे की दो पंक्तियों को कॉलम-दर-कॉलम: पहले 9 और 13, फिर 10 और 14, फिर आख़िरी 2×2 में 11, 12 और 15 को घुमाकर उनकी जगह लगाएँ। हर पंक्ति की पहली दो टाइलें आसान हैं: उन्हें एक-एक करके उनकी जगह ले जाएँ। तरकीब सिर्फ़ आख़िरी जोड़ी के लिए चाहिए।

किसी पंक्ति की आख़िरी दो टाइलें, चाल-दर-चाल

यह रहा पंक्ति 1 के लिए, जब टाइल 1 और 2 पहले से अपनी जगह पर हैं और लॉक हैं।

1. पहले टाइल 4 को रास्ते से हटाएँ। अगर 4 पंक्ति 1 या पंक्ति 2 में है, तो उसे पंक्ति 3 या उससे नीचे ले जाएँ। इससे वह स्टेप 2 में ग़लत खाने में नहीं भटकेगी।
2. टाइल 3 को ऊपर दाएँ कोने में रखें (पंक्ति 1, कॉलम 4), जो 4 का खाना है, 3 का नहीं।
3. टाइल 4 को ठीक उसके नीचे वाले खाने में लाएँ (पंक्ति 2, कॉलम 4), सिर्फ़ पंक्ति 2 से 4 की टाइलें हिलाते हुए, ताकि 3 कोने में ही रहे।
4. ख़ाली जगह को पंक्ति 2, कॉलम 3 में लाएँ, टाइल 4 के बग़ल में, फिर से पंक्ति 1 को छुए बिना। फिर पंक्ति 1, कॉलम 3 में जो भी टाइल है, उसे नीचे ख़ाली जगह में खिसकाएँ। अब ख़ाली जगह 3 के खाने में है, उसके दाईं ओर 3 है और 3 के नीचे 4।
5. 3 को बाईं ओर खिसकाएँ। 4 को ऊपर खिसकाएँ। पंक्ति 1 पूरी। उसे लॉक करें।

पंक्ति 2 भी इसी तरह चलती है: 5 और 6 एक-एक करके लगती हैं, फिर 7 पंक्ति 2, कॉलम 4 में, उसके नीचे 8 पंक्ति 3, कॉलम 4 में, ख़ाली जगह पंक्ति 2, कॉलम 3 में, और वही दो चालें: 7 बाईं ओर, 8 ऊपर।

नीचे की दो पंक्तियाँ, एक-एक कॉलम करके

पंक्ति 1 और 2 लॉक हो जाने के बाद आपके पास चार-चार टाइलों की दो पंक्तियाँ बचती हैं: ऊपर 9, 10, 11, 12 और नीचे 13, 14, 15 व ख़ाली जगह। यहाँ पंक्तियों वाला तरीक़ा नहीं चलेगा, क्योंकि टाइलें किनारे रखने के लिए कोई फ़ालतू पंक्ति नहीं बची, इसलिए आप कॉलम-दर-कॉलम आगे बढ़ते हैं, उसी जोड़ी वाली तरकीब को बग़ल की ओर घुमाकर।

1. कॉलम 1 (टाइल 9 और 13)। 13 को 9 के खाने (पंक्ति 3, कॉलम 1) में रखें और 9 को ठीक उसके दाईं ओर (पंक्ति 3, कॉलम 2)। ख़ाली जगह को पंक्ति 4 से होते हुए पंक्ति 4, कॉलम 1 में लाएँ। 13 को नीचे खिसकाएँ, फिर 9 को बाईं ओर। कॉलम को लॉक करें।
2. कॉलम 2 (टाइल 10 और 14)। एक कॉलम आगे यही दोहराएँ: 14 पंक्ति 3, कॉलम 2 में, 10 पंक्ति 3, कॉलम 3 में, ख़ाली जगह पंक्ति 4, कॉलम 2 में। 14 को नीचे खिसकाएँ, 10 को बाईं ओर। उसे लॉक करें।
3. आख़िरी 2×2 (11, 12 और 15)। ख़ाली जगह को चौकोर के चारों ओर तब तक घुमाएँ जब तक तीनों अपनी जगह न पहुँच जाएँ, ठीक 3×3 की तरह। अगर शफ़ल सही था, तो वे पहुँचेंगी।

यह तरीक़ा भरोसेमंद है, छोटा नहीं। सबसे छोटा रास्ता खोजने वाले कंप्यूटर को किसी भी 15 पज़ल पर कभी 80 से ज़्यादा एक-टाइल चालें नहीं चाहिए, और सिर्फ़ 17 पोज़िशन ऐसी हैं जिन्हें पूरी 80 चाहिए। पंक्ति-दर-पंक्ति इससे ज़्यादा चालें लेता है, लेकिन इसे आप बिना रुककर सोचे कर सकते हैं, और इंसान के लिए यह चालों की गिनती से कहीं ज़्यादा मायने रखता है।

5×5 (24 पज़ल) असल में एक 4×4 है, एक पंक्ति और एक कॉलम ज़्यादा

हर बड़े बोर्ड की परत उतारें, तो अंदर से उससे ठीक छोटा बोर्ड निकल आता है। 5×5 पर पहले पंक्ति 1 हल करें (टाइल 1 से 5, जिसमें 4 और 5 एक के ऊपर एक रखी जोड़ी हैं), फिर उसके नीचे बायाँ कॉलम (6, 11, 16 और 21, जिसमें 16 और 21 बग़ल-बग़ल रखी जोड़ी हैं: 21 को 16 के खाने में, 16 को उसके दाईं ओर, ख़ाली जगह नीचे, फिर 21 को नीचे और 16 को बाईं ओर खिसकाएँ)। दोनों को लॉक करें, और जो बचता है वह टाइल 7 से 10, 12 से 15, 17 से 20 और 22 से 24 से बना एक 4×4 है। इसे ठीक ऊपर बताए तरीक़े से हल करें, नंबरों को 1 से 15 की बजाय पोज़िशन की तरह पढ़ते हुए।

चाहें तो पंक्ति-दर-पंक्ति पंक्ति 3 तक चलते रहें और फिर नीचे की दो पंक्तियाँ कॉलम में करें: दोनों रास्ते एक ही 2×2 घुमाव पर ख़त्म होते हैं। 5×5 में लगभग 7.76×10²⁴ व्यवस्थाएँ बन सकती हैं, और अब तक कोई तय नहीं कर पाया कि उनमें से किसी को भी ज़्यादा से ज़्यादा कितनी चालें चाहिए। हमें मिली सबसे नई सीमाएँ, 2016 की, इसे 152 से 205 एक-टाइल चालों के बीच कहीं रखती हैं।

Klotski और कार-एस्केप पज़ल के लिए अलग तरीक़ा चाहिए

पंक्ति-दर-पंक्ति तभी चलता है जब हर टुकड़ा एक ही साइज़ का हो। Klotski और स्लाइडिंग-ब्लॉक पज़ल का पूरा परिवार, जिसका वह हिस्सा है, अलग-अलग आकार के टुकड़े मिलाता है, और पूरी करने के लिए कोई पंक्ति नहीं होती, क्योंकि किसी की कोई नंबर वाली जगह नहीं है। मायने बस एक टुकड़ा रखता है: वह जिसे आप बाहर निकालना चाहते हैं।

Klotski की क्लासिक शुरुआती पोज़िशन 4×5 की ट्रे है जिसमें दस टुकड़े हैं: ऊपर बीच में एक बड़ा 2×2 ब्लॉक, उसके नीचे लेटा हुआ एक 2×1 ब्लॉक, उसके नीचे दो छोटे 1×1 चौकोर, और दोनों तरफ़ दो-दो खड़े 1×2 ब्लॉक, जिनके नीचे एक-एक 1×1 चौकोर। दोनों ख़ाली खाने नीचे बीच में साथ-साथ होते हैं। लक्ष्य है 2×2 ब्लॉक को नीचे बीच में लाकर फ़्रेम के खुले हिस्से से बाहर निकालना। चीन में यही पज़ल Huarong Dao के नाम से जाना जाता है, जिसमें बड़ा ब्लॉक भागते हुए सरदार Cao Cao का है, जो लकड़ी के कुछ टुकड़ों के लिए काफ़ी लंबी कहानी है।

1. पहले निशाने वाले टुकड़े का रास्ता तय करें। कुछ भी हिलाने से पहले, बड़े ब्लॉक (या भागती कार) को एग्ज़िट तक जो रास्ता तय करना है, उसे खाना-दर-खाना देख लें।
2. एग्ज़िट से उल्टा सोचें। उस रास्ते के अगले क़दम के लिए पूछें कि क्या ख़ाली होना चाहिए, कौन-सा टुकड़ा रास्ते में है, और वह टुकड़ा कहाँ जा सकता है। फिर यही सवाल उससे पूछें जो उसके रास्ते में है। यही कड़ी असली पज़ल है।
3. Klotski में दोनों ख़ाली खाने साथ रखें। खड़ा 1×2 ब्लॉक बग़ल में तभी खिसक सकता है जब दो ख़ाली खाने एक के ऊपर एक हों, लेटे 2×1 ब्लॉक को ऊपर या नीचे जाने के लिए साथ-साथ दो ख़ाली खाने चाहिए, और बड़े ब्लॉक को हमेशा दो चाहिए। ख़ाली खानों को अलग करने से आधे टुकड़े फँस जाते हैं।
4. चालें टुकड़ों से गिनें, खानों से नहीं। Klotski में कोई टुकड़ा जहाँ तक पहुँच सकता है वहाँ तक खिसकाना एक चाल है, और इस हिसाब से क्लासिक शुरुआत के लिए कम से कम 81 चालें चाहिए। “यह ब्लॉक बाईं दीवार तक” जैसी योजना एक-एक क़दम की लिस्ट से कहीं आसानी से याद रहती है।

स्लाइडिंग कार पज़ल, यानी Rush Hour वाला परिवार, एक नियम और जोड़ता है: हर गाड़ी अपनी लेन में बंधी होती है, इसलिए बोर्ड पर आड़ी खड़ी कार सिर्फ़ बाएँ-दाएँ जा सकती है। इससे उल्टी कड़ी और काम की हो जाती है, क्योंकि हर रुकावट वाली गाड़ी के ठहरने की गिनी-चुनी जगहें ही होती हैं। एक बार यह समझ आ जाए, तो Rush Hour जैसे पज़ल में तेज़ होना चालों की गिनती घटाने के बारे में है, जो एक अलग हुनर है।

3x3, 4x4, 5x5 और Klotski एक नज़र में

आम ग़लतियाँ जो बोर्ड को हल नहीं होने देतीं

• पंक्ति की आख़िरी दो टाइलें एक-एक करके लगाना। दूसरी टाइल हमेशा पहली को बाहर कर देती है। उन्हें एक के ऊपर एक रखें और घुमाएँ।
• ख़ाली जगह को पूरी हो चुकी पंक्ति में वापस भटकने देना। वहाँ का हर चक्कर किया हुआ काम बिगाड़ता है। अगर किसी रास्ते में ऐसा करना पड़े, तो दूसरा रास्ता ढूँढें।
• नीचे की दो पंक्तियों को पंक्तियों की तरह हल करना। टाइल किनारे रखने की कोई जगह नहीं बचती। दो पंक्तियाँ बचें तो कॉलम पर आ जाएँ।
• आख़िरी 2×2 को तीन अलग-अलग टाइलें समझना। यह एक ही घुमाव है। चक्कर लगाएँ, और अगर पहले चक्कर में कुछ न हो, तो दूसरी दिशा में घुमाएँ।
• पैरिटी ग़लत गिनना। ख़ाली जगह को टाइल न गिनें, और 4×4 पर ख़ाली जगह की पंक्ति जोड़ना न भूलें।
• Klotski में दोनों ख़ाली खानों को अलग कर देना। बड़े ब्लॉक को ज़रा भी हिलने के लिए दोनों खाने साथ-साथ चाहिए।

स्लाइडिंग पज़ल ऑनलाइन कहाँ खेलें: पहले हमारा फ़्री 15 पज़ल, फिर Car Parking

ऊपर वाले तरीक़े के लिए बोर्ड है हमारा अपना Sliding Puzzle, ब्राउज़र में फ़्री, न डाउनलोड न साइन-अप। 3×3, 4×4 या 5×5 चुनें, नंबर वाली टाइलों या चोरी वाली तस्वीर के साथ, और हर शफ़ल आपके देखने से पहले पैरिटी के लिए जाँचा जाता है, इसलिए नामुमकिन वाले आधे हिस्से का कोई बोर्ड आपको कभी नहीं मिलता। अनडू अनलिमिटेड है, और गेम हर साइज़ के लिए आपकी सबसे कम चालें और सबसे अच्छा समय सेव रखता है। इसकी कमी: ये रिकॉर्ड आपके ब्राउज़र में रहते हैं, इसलिए साइट का डेटा साफ़ करने या प्राइवेट विंडो में खेलने से वे मिट जाते हैं।

परिवार की Klotski और Rush Hour वाली शाखा के लिए Car Parking आज़माएँ: 6×6 का कार पार्क, ट्रैफ़िक में घिरी एक सुनहरी कार, और हर गाड़ी अपनी लेन में बंधी। एक चाल का मतलब है एक गाड़ी का नई जगह पर खड़ा होना, चाहे वह कितनी भी दूर खिसकी हो, और 240 लेवल में से हर एक का पार वह सबसे छोटा हल है जो हमारे सॉल्वर को मिला, साथ में हर लेवल में तीन हिंट। इसमें पंक्ति-दर-पंक्ति वाला नहीं, एग्ज़िट से उल्टा सोचने वाला तरीक़ा अभ्यास होता है। Getaway Garage हर स्वाइप के साथ हर गाड़ी को एक साथ खिसकाता है और एक जैसी तीन गाड़ियों को हटाता है, जो इसे फिर एक अलग पज़ल बना देता है, और अगर आपको पूरी पृष्ठभूमि चाहिए तो हमारा ट्रैफ़िक जाम पज़ल्स का इतिहास 15 पज़ल की दीवानगी से शुरू होता है।

फ़ैसले का नियम छोटा है। अगर हर टुकड़ा एक ही साइज़ का है, तो ऊपर से पंक्तियाँ पूरी करें, आख़िरी दो पंक्तियों के लिए कॉलम पर आ जाएँ और आख़िरी चौकोर को घुमाएँ। अगर टुकड़े अलग-अलग हैं, तो वह एक टुकड़ा चुनें जिसे बाहर निकलना है और एग्ज़िट से उल्टा योजना बनाएँ। पहला तरीक़ा 4×4 Sliding Puzzle पर आज़माएँ और दूसरा Car Parking में, दोनों आपके ब्राउज़र में फ़्री।