Cómo resolver un rompecabezas deslizante: 3x3, 4x4 y 5x5 paso a paso

Para resolver un rompecabezas deslizante, termina la fila de arriba, luego la de abajo, y sigue así hasta que solo queden dos filas; esas dos termínalas columna por columna desde la izquierda, y el último cuadrado de 2×2 se resuelve solo cuando haces girar el hueco a su alrededor. El único truco que necesitas es para las dos últimas fichas de cada fila y de cada columna, que entran juntas como un par apilado y no una por una.

Ese es todo el método, y funciona igual en un 3×3, un 4×4 y un 5×5. Abajo lo explicamos movimiento a movimiento, junto con la prueba de paridad que te dice si un tablero tiene solución, y el plan distinto que necesitas para el Klotski y los puzles de sacar autos, donde las piezas son de distintos tamaños. Si quieres un tablero para practicar, juega uno aquí: nuestro Sliding Puzzle gratis funciona en el navegador en 3x3, 4x4 y 5x5, y todas las mezclas que reparte tienen solución.

Las reglas: un solo hueco, y la mitad de las mezclas no tiene solución

Un rompecabezas de fichas deslizantes es un marco cuadrado de fichas numeradas al que le falta un espacio. Deslizas hacia el hueco cualquier ficha que esté a su lado, y el objetivo es dejar las fichas en orden, de izquierda a derecha y de arriba abajo, con el hueco en la esquina inferior derecha. La versión de 3×3 es el juego del 8, la de 4×4 es el juego del 15 y la de 5×5 es el juego del 24, por la cantidad de fichas que tiene cada una.

Si sacas las fichas a la fuerza y las vuelves a poner al azar, exactamente la mitad de las combinaciones posibles no se puede resolver nunca. Deslizar fichas jamás cambia una cantidad oculta llamada paridad, y puedes calcularla con un lápiz. Lee las fichas de izquierda a derecha y de arriba abajo, sin contar el hueco, y cuenta cada par en el que un número mayor aparece antes que uno menor. Cada uno de esos pares es una inversión.

• Anchos impares (3×3, 5×5): el rompecabezas tiene solución exactamente cuando la cantidad de inversiones es par.
• Anchos pares (4×4): súmale la fila donde está el hueco, contando las filas del 1 al 4 desde arriba. El rompecabezas tiene solución exactamente cuando ese total es par. (Si cuentas las filas desde abajo, necesitas un total impar. Es la misma regla, al revés.)

Un ejemplo resuelto en 3×3. Toma el tablero 1 3 _ / 4 2 5 / 7 8 6, con el hueco arriba a la derecha. Si lo lees en orden, queda 1, 3, 4, 2, 5, 7, 8, 6. Las inversiones son 3 antes de 2, 4 antes de 2, 7 antes de 6 y 8 antes de 6: cuatro, que es par, así que tiene solución. Se resuelve en cuatro movimientos: desliza el 3 a la derecha, el 2 hacia arriba, el 5 a la izquierda y el 6 hacia arriba. Ahora toma un tablero resuelto e intercambia el 7 y el 8. Eso es una inversión, impar, y no hay secuencia de deslizamientos que lo arregle.

La versión de 4×4 de esa trampa hizo famoso al juego del 15. Fue una fiebre en Estados Unidos en 1880, y el creador de acertijos Sam Loyd afirmó más tarde haber ofrecido un premio de $1,000 para quien partiera de un tablero resuelto con el 14 y el 15 intercambiados y los pusiera en su lugar. Una inversión, más el hueco en la fila 4, da 5: impar, o sea, imposible. El dinero del premio nunca corrió peligro. Cualquier rompecabezas digital bien hecho se mezcla haciendo movimientos legales desde un tablero resuelto, así que el de tu pantalla tiene solución. Uno físico que tu hermano desarmó a la fuerza quizá no.

El 3×3 (juego del 8) se resuelve en cuatro etapas

Las filas se numeran desde arriba y las columnas desde la izquierda. “Bloquear” significa que, a partir de ese momento, el hueco nunca vuelve a pasar por esas casillas.

1. La ficha 1 a su lugar. Mueve el hueco alrededor hasta llevar el 1 a la esquina superior izquierda. Bloquéala.
2. Las fichas 2 y 3 como par apilado. Pon el 2 en la esquina superior derecha (la casilla del 3, no la suya) y el 3 justo debajo, en la fila 2, columna 3. Lleva el hueco a la casilla central de arriba pasando por la fila 2, nunca por la esquina. Desliza el 2 a la izquierda y luego el 3 hacia arriba. Fila de arriba lista. Bloquéala.
3. Las fichas 4 y 7 como par apilado, de lado. Pon el 7 en la casilla del 4 (fila 2, columna 1) y el 4 justo a su derecha, en el centro. Lleva el hueco a la esquina inferior izquierda por la fila de abajo. Desliza el 7 hacia abajo y luego el 4 a la izquierda. Columna izquierda lista. Bloquéala.
4. Las fichas 5, 6 y 8: gira. Lo que queda es un cuadrado de 2×2 con tres fichas y el hueco. Haz girar el hueco a su alrededor en una dirección y las tres fichas rotan hasta caer en su sitio. En la dirección correcta nunca toma más de seis movimientos; si la primera vuelta no lleva a nada, gira hacia el otro lado.

El motivo del par apilado: si pones el 2 en su lugar primero, el único camino del 3 hacia la esquina pasa por la casilla del 2, así que al colocar el 3 sacas al 2. Si los apilas antes y giras, los dos entran en dos deslizamientos. Casi todo el mundo prueba la versión de una en una varias veces antes de creérselo. Nosotros la probamos más veces que casi todo el mundo.

El 4×4 (juego del 15): dos filas, dos columnas y una rotación

El juego del 15 es el mismo plan con una etapa más. Resuelve la fila 1 (fichas del 1 al 4) y la fila 2 (del 5 al 8) como filas, y luego las dos filas de abajo columna por columna: el 9 y el 13, después el 10 y el 14, y al final gira el 11, el 12 y el 15 hasta su lugar en el último 2×2. En cada fila las dos primeras fichas son fáciles; llévalas a su sitio de una en una. Solo el último par necesita el truco.

Las dos últimas fichas de una fila, movimiento a movimiento

Así se hace en la fila 1, con las fichas 1 y 2 ya en su lugar y bloqueadas.

1. Primero quita del camino la ficha 4. Si el 4 está en la fila 1 o en la fila 2, bájalo a la fila 3 o más abajo. Así evitas que se cuele en la casilla equivocada en el paso 2.
2. Pon la ficha 3 en la esquina superior derecha (fila 1, columna 4), que es la casilla del 4, no la del 3.
3. Lleva la ficha 4 a la casilla justo debajo (fila 2, columna 4), moviendo solo fichas de las filas 2 a 4 para que el 3 se quede en la esquina.
4. Lleva el hueco a la fila 2, columna 3, al lado de la ficha 4, otra vez sin tocar la fila 1. Luego baja al hueco la ficha que esté en la fila 1, columna 3. Ahora el hueco está en la casilla del 3, con el 3 a su derecha y el 4 debajo del 3.
5. Desliza el 3 a la izquierda. Desliza el 4 hacia arriba. La fila 1 está terminada. Bloquéala.

La fila 2 funciona igual: el 5 y el 6 entran de uno en uno, luego el 7 va a la fila 2, columna 4, con el 8 debajo en la fila 3, columna 4, el hueco a la fila 2, columna 3, y los mismos dos deslizamientos: el 7 a la izquierda y el 8 hacia arriba.

Las dos filas de abajo, columna por columna

Con las filas 1 y 2 bloqueadas, te quedan dos filas de cuatro: 9, 10, 11 y 12 sobre 13, 14, 15 y el hueco. Aquí las filas no sirven porque no queda una fila libre donde estacionar fichas, así que avanzas por columnas, con el mismo truco del par girado de lado.

1. Columna 1 (fichas 9 y 13). Pon el 13 en la casilla del 9 (fila 3, columna 1) y el 9 justo a su derecha (fila 3, columna 2). Lleva el hueco por la fila 4 hasta la fila 4, columna 1. Desliza el 13 hacia abajo y luego el 9 a la izquierda. Bloquea la columna.
2. Columna 2 (fichas 10 y 14). Lo mismo, una columna más allá: el 14 en la fila 3, columna 2, el 10 en la fila 3, columna 3, y el hueco a la fila 4, columna 2. Desliza el 14 hacia abajo y el 10 a la izquierda. Bloquéala.
3. El último 2×2 (11, 12 y 15). Haz girar el hueco alrededor del cuadrado hasta que las tres caigan en su sitio, igual que en el 3×3. Si la mezcla era legal, van a caer.

Este método es confiable, no corto. Una computadora que busca la ruta más corta nunca necesita más de 80 movimientos de una ficha en ningún juego del 15, y solo 17 posiciones necesitan los 80. Ir fila por fila lleva más que eso, pero puedes hacerlo sin pararte a pensar, y para una persona eso importa mucho más que la cantidad de movimientos.

El 5×5 (juego del 24) es un 4×4 con una fila y una columna de más

Cada tablero grande se reduce al de tamaño inferior. En un 5×5, resuelve la fila 1 (fichas del 1 al 5, con el 4 y el 5 como par apilado) y luego la columna izquierda debajo de ella (6, 11, 16 y 21, con el 16 y el 21 como par de lado: el 21 en la casilla del 16, el 16 a su derecha, el hueco abajo, desliza el 21 hacia abajo y el 16 a la izquierda). Bloquea las dos, y lo que queda es un 4×4 formado por las fichas del 7 al 10, del 12 al 15, del 17 al 20 y del 22 al 24. Resuélvelo exactamente como arriba, leyendo los números como posiciones y no como del 1 al 15.

También puedes seguir fila por fila hasta la fila 3 y después hacer las dos filas de abajo por columnas; las dos rutas terminan en la misma rotación de 2×2. El 5×5 tiene unas 7.76×10²⁴ combinaciones alcanzables, y nadie ha logrado determinar todavía cuántos movimientos necesita la peor de ellas. Los límites más recientes que encontramos, de 2016, lo ubican entre 152 y 205 movimientos de una ficha.

El Klotski y los puzles de sacar autos necesitan otro método

Ir fila por fila solo funciona cuando todas las piezas son del mismo tamaño. El Klotski, y toda la familia de puzles de bloques deslizantes a la que pertenece, mezcla piezas de formas distintas, y no hay ninguna fila que terminar porque nada tiene un lugar numerado. Solo importa una pieza: la que intentas sacar.

La posición inicial clásica del Klotski es una bandeja de 4×5 con diez piezas: un bloque grande de 2×2 arriba al centro, un bloque de 2×1 acostado debajo, dos cuadraditos de 1×1 debajo de ese, y a cada lado dos bloques verticales de 1×2 con un cuadrado de 1×1 al fondo. Las dos casillas vacías quedan juntas abajo al centro. El objetivo es llevar el bloque de 2×2 al centro de abajo y sacarlo por la abertura del marco. En China el mismo rompecabezas se conoce como Huarong Dao, y el bloque grande es el caudillo Cao Cao en plena huida, que es mucha trama para unos pedazos de madera.

1. Primero planea la ruta de la pieza objetivo. Traza casilla por casilla el camino que debe recorrer el bloque grande (o el auto que escapa) hasta la salida, antes de mover nada.
2. Trabaja hacia atrás desde la salida. Para el siguiente paso de ese camino, pregúntate qué tiene que estar vacío, qué pieza estorba y adónde puede ir esa pieza. Luego pregunta lo mismo sobre lo que le estorba a ella. Esa cadena es el verdadero rompecabezas.
3. En el Klotski, mantén juntos los dos huecos. Un bloque vertical de 1×2 solo puede moverse de lado hacia dos casillas vacías una sobre otra, el horizontal de 2×1 necesita dos contiguas para subir o bajar, y el bloque grande siempre necesita dos. Separar los huecos deja varada a la mitad de las piezas.
4. Cuenta los movimientos por piezas movidas, no por casillas. En el Klotski, una pieza que se desliza hasta cualquier punto al que pueda llegar es un movimiento, y con esa cuenta el inicio clásico necesita al menos 81. Un plan del tipo “este bloque a la pared izquierda” es más fácil de tener en la cabeza que una lista de pasos sueltos.

Los puzles de autos deslizantes, la familia de Rush Hour, agregan una regla más: cada vehículo está fijo en su propio carril, así que un auto atravesado en el tablero solo puede ir a la izquierda y a la derecha. Eso hace que la cadena hacia atrás sea todavía más útil, porque cada bloqueador tiene pocos lugares donde puede terminar. Cuando eso te haga clic, lo siguiente es recortar la cantidad de movimientos, que es otra habilidad y la explicamos en Más rápido en los puzles tipo Rush Hour.

3x3 vs. 4x4 vs. 5x5 vs. Klotski de un vistazo

Errores comunes que dejan un tablero sin resolver

• Colocar las dos últimas fichas de una fila de una en una. La segunda siempre desaloja a la primera. Apílalas y gira.
• Dejar que el hueco vuelva a una fila terminada. Cada viaje allá arriba deshace trabajo. Si una ruta lo exige, busca otra ruta.
• Resolver las dos filas de abajo como filas. No hay dónde estacionar una ficha. Cambia a columnas cuando queden dos filas.
• Tratar el último 2×2 como tres fichas sueltas. Es una sola rotación. Da la vuelta, y si la primera vuelta no hace nada, gira hacia el otro lado.
• Contar mal la paridad. No cuentes el hueco como ficha, y en un 4×4 no olvides sumar la fila del hueco.
• Separar los dos huecos en el Klotski. Los bloques más grandes necesitan los dos, uno al lado del otro, para poder moverse.

Dónde jugar un rompecabezas deslizante en línea: nuestro juego del 15 gratis y luego Car Parking

El tablero para el método de arriba es nuestro propio Sliding Puzzle, gratis en el navegador, sin descargas ni registro. Elige 3×3, 4×4 o 5×5, con fichas numeradas o una imagen del golpe, y cada mezcla pasa la prueba de paridad antes de que la veas, así que nunca te toca una de la mitad imposible. El botón Deshacer no tiene límite, y el juego guarda tu mejor cantidad de movimientos y tu mejor tiempo en cada tamaño. Su limitación: esos récords viven en tu navegador, así que si borras los datos del sitio o juegas en una ventana privada, desaparecen.

Para el lado Klotski y Rush Hour de la familia, prueba Car Parking: un estacionamiento de 6×6, un auto dorado encerrado por el tráfico y cada vehículo fijo en su propio carril. Un movimiento es un vehículo que se estaciona en otro lugar, sin importar cuánto se deslizó, y cada uno de los 240 niveles muestra un par que es la solución más corta que encontró nuestro solucionador, con tres pistas por nivel. Ahí se practica el método de trabajar hacia atrás desde la salida, no el de fila por fila. Getaway Garage mueve todos los vehículos a la vez con cada gesto y elimina tríos del mismo color, así que es otro rompecabezas distinto, y nuestra Historia de los puzles de atascos arranca con la fiebre del juego del 15, por si quieres conocer los antecedentes.

La regla para decidir es corta. Si todas las piezas son del mismo tamaño, termina las filas desde arriba, cambia a columnas para las dos últimas filas y gira el cuadrado final. Si las piezas son distintas, elige la única pieza que tiene que escapar y planea hacia atrás desde la salida. Prueba lo primero en un Sliding Puzzle de 4×4 y lo segundo en Car Parking, los dos gratis en tu navegador.