슬라이딩 퍼즐 푸는 법: 3x3, 4x4, 5x5 단계별 풀이

슬라이딩 퍼즐은 맨 윗줄을 끝내고, 그 아랫줄을 끝내는 식으로 두 줄만 남을 때까지 내려가면 풀려요. 남은 두 줄은 왼쪽부터 한 열씩 맞추고, 마지막 2×2 칸은 빈칸을 그 주위로 돌리기만 하면 저절로 맞춰져요. 필요한 요령은 딱 하나, 각 줄과 각 열의 마지막 두 타일을 하나씩이 아니라 위아래로 세운 짝으로 한꺼번에 넣는 거예요.

풀이법은 이게 전부이고, 3×3이든 4×4든 5×5든 똑같이 통해요. 아래에서는 이 방법을 한 수씩 풀어 설명하고, 보드를 애초에 풀 수 있는지 알려 주는 패리티 확인법, 그리고 조각 크기가 제각각인 클로츠키와 자동차 탈출 퍼즐에 필요한 다른 계획도 함께 다뤄요. 직접 해 볼 보드가 필요하다면 여기서 바로 플레이하세요. 저희가 만든 무료 Sliding Puzzle은 브라우저에서 3x3, 4x4, 5x5로 실행되고, 내놓는 섞기는 모두 풀 수 있어요.

규칙: 빈칸은 하나, 그리고 모든 섞기의 절반은 풀 수 없어요

슬라이딩 타일 퍼즐은 숫자 타일이 든 정사각형 틀에서 한 칸이 비어 있는 퍼즐이에요. 빈칸 옆에 있는 타일을 빈칸으로 밀어 넣을 수 있고, 목표는 타일을 왼쪽에서 오른쪽, 위에서 아래 순서로 늘어놓고 빈칸을 오른쪽 아래 모서리에 두는 거예요. 3×3은 8퍼즐, 4×4는 15퍼즐, 5×5는 24퍼즐이라고 부르는데, 이름은 들어 있는 타일 수에서 왔어요.

타일을 다 빼냈다가 아무렇게나 다시 끼우면, 만들 수 있는 배치 중 정확히 절반은 절대 풀 수 없어요. 타일을 아무리 밀어도 패리티라는 숨은 값은 바뀌지 않고, 이 값은 연필 하나로 확인할 수 있어요. 빈칸은 건너뛰고 타일을 왼쪽에서 오른쪽, 위에서 아래로 읽은 다음, 큰 숫자가 작은 숫자보다 앞에 오는 쌍을 모두 세세요. 그런 쌍 하나하나가 역순 쌍이에요.

• 가로 칸 수가 홀수(3×3, 5×5): 역순 쌍의 개수가 짝수일 때, 그리고 그때만 풀 수 있어요.
• 가로 칸 수가 짝수(4×4): 빈칸이 있는 행 번호를 위에서부터 1~4로 세어 더하세요. 그 합이 짝수일 때, 그리고 그때만 풀 수 있어요. (행을 아래에서부터 세면 합이 홀수여야 해요. 같은 규칙을 거꾸로 본 것뿐이에요.)

3×3 예시로 직접 해 볼게요. 빈칸이 오른쪽 위에 있는 보드 1 3 _ / 4 2 5 / 7 8 6을 보세요. 차례대로 읽으면 1, 3, 4, 2, 5, 7, 8, 6이에요. 역순 쌍은 2 앞의 3, 2 앞의 4, 6 앞의 7, 6 앞의 8로 네 개, 짝수니까 풀 수 있어요. 실제로 네 번이면 끝나요. 3을 오른쪽으로, 2를 위로, 5를 왼쪽으로, 6을 위로 밀면 돼요. 이번에는 완성된 보드에서 7과 8을 맞바꿔 보세요. 역순 쌍이 하나, 홀수라서 어떤 순서로 밀어도 절대 고칠 수 없어요.

15퍼즐을 유명하게 만든 게 바로 이 함정의 4×4 버전이에요. 1880년 미국에서 이 퍼즐이 대유행했을 때, 퍼즐 작가 Sam Loyd는 완성된 보드에서 14와 15를 맞바꾼 상태로 시작해 제자리로 돌려놓는 사람에게 $1,000 상금을 내걸었다고 나중에 주장했어요. 역순 쌍 하나에 빈칸이 4행에 있으니 합은 5, 홀수라서 불가능해요. 상금이 나갈 걱정은 처음부터 없었던 셈이죠. 제대로 만든 디지털 퍼즐은 완성된 보드에서 규칙대로 타일을 밀어 섞기 때문에 화면 속 퍼즐에는 반드시 답이 있어요. 동생이 타일을 뜯어냈다가 다시 끼운 실물 퍼즐은 장담할 수 없지만요.

3×3(8퍼즐)은 네 단계로 풀려요

행은 위에서부터, 열은 왼쪽에서부터 번호를 매겨요. "고정"한다는 건 그 뒤로 빈칸이 그 칸들을 절대 지나가지 않게 한다는 뜻이에요.

1. 1번 타일을 제자리에. 빈칸을 돌려 가며 1을 왼쪽 위 모서리로 가져오세요. 그리고 고정하세요.
2. 2번과 3번 타일은 세운 짝으로. 2를 오른쪽 위 모서리(2가 아니라 3의 자리)에 두고, 3을 그 바로 아래인 2행 3열에 두세요. 빈칸은 모서리를 지나지 말고 2행을 거쳐 맨 윗줄 가운데 칸으로 가져오세요. 2를 왼쪽으로 밀고, 이어서 3을 위로 밀면 맨 윗줄 완성이에요. 고정하세요.
3. 4번과 7번 타일은 옆으로 눕힌 짝으로. 7을 4의 자리(2행 1열)에 두고, 4를 그 바로 오른쪽인 가운데 칸에 두세요. 빈칸은 맨 아랫줄을 따라 왼쪽 아래 모서리로 가져오세요. 7을 아래로 밀고, 이어서 4를 왼쪽으로 밀면 왼쪽 열 완성이에요. 고정하세요.
4. 5, 6, 8번 타일은 돌리기. 남은 건 타일 세 개와 빈칸이 있는 2×2 칸이에요. 빈칸을 한 방향으로 그 주위를 따라 돌리면 타일 세 개가 순서대로 돌다가 제자리에 들어가요. 방향만 맞으면 여섯 번을 넘지 않아요. 한 바퀴 돌았는데 그대로라면 반대 방향으로 돌리세요.

짝을 세우는 이유는 이래요. 2를 먼저 제자리에 넣으면 3이 모서리로 갈 수 있는 길은 2의 자리를 지나는 것뿐이라서, 3을 넣는 순간 2가 밀려나요. 둘을 먼저 세워 두고 돌리면 두 번 밀어서 둘 다 제자리에 들어가요. 대부분은 하나씩 넣는 방법을 몇 번이나 시도한 뒤에야 이 말을 믿어요. 저희는 남들보다 좀 더 많이 시도했고요.

4×4(15퍼즐): 두 줄, 두 열, 그리고 돌리기

15퍼즐은 같은 계획에 단계가 하나 더 붙어요. 1행(1~4번 타일)과 2행(5~8번)은 줄 단위로 풀고, 아래 두 줄은 열 단위로 풀어요. 9와 13, 그다음 10과 14, 마지막으로 남은 2×2에서 11, 12, 15를 돌려 제자리에 넣으면 돼요. 각 줄의 처음 두 타일은 쉬워요. 하나씩 제자리로 옮기면 돼요. 요령이 필요한 건 마지막 짝뿐이에요.

한 줄의 마지막 두 타일, 한 수씩

1번과 2번 타일이 이미 제자리에 고정된 상태에서 1행을 마무리하는 방법이에요.

1. 먼저 4번 타일을 치워 두세요. 4가 1행이나 2행에 있으면 3행 이하로 내리세요. 그래야 2단계에서 4가 엉뚱한 칸으로 흘러들지 않아요.
2. 3번 타일을 오른쪽 위 모서리에 두세요(1행 4열). 3이 아니라 4의 자리예요.
3. 4번 타일을 그 바로 아래 칸으로 가져오세요(2행 4열). 3이 모서리에 그대로 있도록 2~4행의 타일만 움직이세요.
4. 빈칸을 4번 타일 옆인 2행 3열로 가져오세요. 이번에도 1행은 건드리지 마세요. 그다음 1행 3열에 있는 타일을 아래 빈칸으로 내리세요. 이제 빈칸은 3의 자리에 있고, 그 오른쪽에 3, 3 아래에 4가 있어요.
5. 3을 왼쪽으로, 4를 위로 미세요. 1행 완성이에요. 고정하세요.

2행도 똑같아요. 5와 6은 하나씩 넣고, 7을 2행 4열에, 8을 그 아래인 3행 4열에 둔 뒤 빈칸을 2행 3열로 가져와 같은 두 번을 밀면 돼요. 7은 왼쪽, 8은 위로.

아래 두 줄은 한 열씩

1행과 2행을 고정하면 네 칸짜리 두 줄이 남아요. 위에 9, 10, 11, 12, 아래에 13, 14, 15와 빈칸이죠. 여기서는 타일을 잠깐 세워 둘 여유 줄이 없어서 줄 단위로는 안 되고, 같은 짝 요령을 옆으로 눕혀 열 단위로 진행해요.

1. 1열(9번과 13번 타일). 13을 9의 자리(3행 1열)에, 9를 그 바로 오른쪽(3행 2열)에 두세요. 빈칸은 4행을 따라 4행 1열로 가져오세요. 13을 아래로, 이어서 9를 왼쪽으로 밀고 이 열을 고정하세요.
2. 2열(10번과 14번 타일). 한 열 옆에서 똑같이 해요. 14를 3행 2열에, 10을 3행 3열에 두고, 빈칸을 4행 2열로 가져오세요. 14를 아래로, 10을 왼쪽으로 밀고 고정하세요.
3. 마지막 2×2(11, 12, 15). 세 타일이 모두 제자리에 들어갈 때까지 빈칸을 2×2 칸 주위로 돌리세요. 3×3 때와 똑같아요. 규칙대로 섞인 퍼즐이라면 반드시 들어가요.

이 방법은 확실할 뿐 짧지는 않아요. 컴퓨터로 최단 경로를 찾으면 어떤 15퍼즐이든 타일 한 칸 이동 기준 80번을 넘지 않고, 80번이 꼭 필요한 배치는 17가지뿐이에요. 한 줄씩 풀면 그보다 많이 들지만 멈춰서 고민할 필요가 없고, 사람에게는 이동 횟수보다 그게 훨씬 중요해요.

5×5(24퍼즐)는 4×4에 줄 하나와 열 하나가 더 붙은 거예요

큰 보드는 모두 한 단계 작은 보드로 벗겨 낼 수 있어요. 5×5에서는 1행(1~5번 타일, 4와 5가 세운 짝)을 풀고, 그 아래 왼쪽 열(6, 11, 16, 21번, 16과 21이 눕힌 짝)을 풀어요. 눕힌 짝은 21을 16의 자리에, 16을 그 오른쪽에 두고, 빈칸을 아래로 가져와 21을 아래로, 16을 왼쪽으로 밀면 돼요. 둘 다 고정하면 7~10, 12~15, 17~20, 22~24번 타일로 된 4×4가 남아요. 숫자를 1~15가 아니라 자리로 읽으면서 위와 똑같이 푸세요.

아니면 그냥 3행까지 한 줄씩 내려간 다음 아래 두 줄을 열 단위로 풀어도 돼요. 어느 쪽이든 끝은 같은 2×2 돌리기예요. 5×5에서 만들 수 있는 배치는 약 7.76×10²⁴가지이고, 그중 가장 오래 걸리는 배치가 몇 번 만에 풀리는지는 아직 아무도 밝혀내지 못했어요. 저희가 찾은 가장 최근의 범위는 2016년 결과로, 타일 한 칸 이동 기준 152번에서 205번 사이예요.

클로츠키와 자동차 탈출 퍼즐은 푸는 방법이 달라요

한 줄씩 푸는 방법은 모든 조각의 크기가 같을 때만 통해요. 클로츠키와 그 슬라이딩 블록 퍼즐 가족은 모양이 다른 조각이 섞여 있고, 번호가 붙은 제자리가 없으니 끝낼 줄도 없어요. 중요한 조각은 딱 하나, 빼내려는 조각이에요.

클로츠키의 고전 시작 배치는 4×5 틀에 조각 열 개가 들어 있어요. 맨 위 가운데에 큰 2×2 블록 하나, 그 아래에 가로로 누운 2×1 블록 하나, 그 아래에 작은 1×1 정사각형 두 개, 그리고 양옆에 세로로 선 1×2 블록 두 개씩과 맨 아래 1×1 정사각형 하나씩이에요. 빈칸 두 개는 맨 아래 가운데에 나란히 있어요. 목표는 2×2 블록을 맨 아래 가운데로 옮겨 틀의 틈으로 빼내는 거예요. 중국에서는 같은 퍼즐을 화용도라고 부르고, 큰 블록은 도망치는 장수 조조예요. 나무토막 몇 개치고는 사연이 꽤 거창하죠.

1. 목표 조각의 경로부터 정하세요. 아무것도 움직이기 전에 큰 블록(또는 탈출할 차)이 출구까지 가야 할 길을 한 칸씩 따라가 보세요.
2. 출구에서 거꾸로 생각하세요. 그 길의 다음 한 걸음을 위해 무엇이 비어야 하는지, 어떤 조각이 막고 있는지, 그 조각은 어디로 갈 수 있는지 물어보세요. 그리고 그 조각을 막는 것에도 같은 질문을 던지세요. 그 연결 고리가 진짜 퍼즐이에요.
3. 클로츠키에서는 빈칸 두 개를 붙여 두세요. 세로로 선 1×2 블록은 위아래로 붙은 빈칸 두 개가 있어야만 옆으로 움직이고, 가로로 누운 2×1 블록은 위아래로 움직이려면 나란히 붙은 빈칸 두 개가 필요하고, 큰 블록은 언제나 두 칸이 필요해요. 빈칸을 갈라놓으면 조각 절반이 꼼짝 못 하게 돼요.
4. 칸이 아니라 움직인 조각 수로 세세요. 클로츠키에서는 조각 하나를 갈 수 있는 어느 자리로 옮기든 한 수예요. 이렇게 세면 고전 시작 배치는 최소 81수가 필요해요. "이 블록은 왼쪽 벽까지" 같은 계획이 한 칸씩 적은 목록보다 머릿속에 담기 훨씬 쉬워요.

Rush Hour 계열의 자동차 슬라이딩 퍼즐에는 규칙이 하나 더 있어요. 모든 차가 자기 차로에 묶여 있어서, 가로로 놓인 차는 좌우로만 움직여요. 그래서 거꾸로 따라가는 방법이 더 잘 통해요. 길을 막는 차마다 갈 수 있는 자리가 몇 군데뿐이니까요. 이게 감이 오면 그다음 과제는 이동 횟수를 줄이는 건데, 그건 또 다른 기술이에요. 러시아워 퍼즐 빨리 푸는 법에서 다뤘어요.

3x3, 4x4, 5x5, 클로츠키 한눈에 비교

보드를 못 풀게 만드는 흔한 실수

• 한 줄의 마지막 두 타일을 하나씩 넣기. 두 번째 타일이 늘 첫 번째를 밀어내요. 세워 두고 돌리세요.
• 빈칸을 완성된 줄로 다시 보내기. 거기로 한 번 올라갈 때마다 해 둔 일이 풀려요. 그 길이 필요하다면 다른 길을 찾으세요.
• 아래 두 줄을 줄 단위로 풀기. 타일을 세워 둘 곳이 없어요. 두 줄이 남으면 열 단위로 바꾸세요.
• 마지막 2×2를 따로따로인 타일 세 개로 보기. 그건 돌리기 한 번이에요. 돌려 보고, 한 바퀴 돌아도 그대로면 반대 방향으로 돌리세요.
• 패리티 잘못 세기. 빈칸을 타일로 세지 말고, 4×4에서는 빈칸이 있는 행 번호를 더하는 걸 잊지 마세요.
• 클로츠키에서 빈칸 두 개를 갈라놓기. 큰 블록들은 나란히 붙은 빈칸 두 개가 있어야 움직일 수 있어요.

슬라이딩 퍼즐을 온라인에서 할 수 있는 곳: 저희 무료 15퍼즐, 그다음은 Car Parking

위 방법을 연습할 보드는 저희가 만든 Sliding Puzzle이에요. 브라우저에서 무료이고 다운로드도 가입도 필요 없어요. 3×3, 4×4, 5×5 중에서 고르고 숫자 타일이나 작전 그림을 선택할 수 있으며, 모든 섞기는 보여 주기 전에 패리티를 확인하기 때문에 불가능한 절반이 나올 일이 없어요. 되돌리기는 무제한이고, 크기별로 최소 이동 횟수와 최단 시간을 기록해요. 단점도 있어요. 기록이 브라우저에 저장되기 때문에 사이트 데이터를 지우거나 시크릿 창에서 플레이하면 사라져요.

클로츠키와 Rush Hour 쪽 가족이 궁금하다면 Car Parking을 해 보세요. 가로세로 여섯 칸 주차장에 금색 도주 차량이 차들에 갇혀 있고, 모든 차는 자기 차로에 묶여 있어요. 차 한 대가 얼마나 멀리 미끄러지든 새 자리에 서면 한 수이고, 240개 레벨마다 저희 솔버가 찾은 최단 풀이인 기준 수(파)가 표시되며, 힌트는 레벨당 세 번이에요. 한 줄씩 푸는 방법이 아니라 출구에서 거꾸로 푸는 방법을 연습하기 좋아요. Getaway Garage는 스와이프 한 번에 모든 차가 함께 움직이고 같은 색 세 대를 없애는 게임이라 또 다른 퍼즐이에요. 뒷이야기가 궁금하다면 15퍼즐 열풍에서 시작하는 교통 체증 퍼즐의 역사도 읽어 보세요.

판단 기준은 간단해요. 모든 조각의 크기가 같다면 위에서부터 줄을 끝내고, 두 줄이 남으면 열 단위로 바꾼 뒤 마지막 칸을 돌리세요. 조각 크기가 다르다면 탈출해야 하는 조각 하나를 정하고 출구에서 거꾸로 계획하세요. 앞의 방법은 4×4 Sliding Puzzle에서, 뒤의 방법은 Car Parking에서 연습해 보세요. 둘 다 브라우저에서 무료예요.