Como resolver um quebra-cabeça deslizante: 3x3, 4x4 e 5x5 passo a passo

Para resolver um quebra-cabeça deslizante, termine a linha de cima, depois a de baixo dela, e siga assim até sobrarem só duas linhas; termine essas duas uma coluna por vez, a partir da esquerda, e o último quadrado 2×2 se resolve sozinho quando você gira o espaço vazio em volta dele. O único truque de que você precisa vale para as duas últimas peças de cada linha e de cada coluna, que entram juntas, como um par empilhado, e não uma de cada vez.

Esse é o método inteiro, e ele funciona igual no 3×3, no 4×4 e no 5×5. Abaixo ele vem destrinchado movimento por movimento, junto com a conta de paridade que diz se um tabuleiro tem solução, e com o plano diferente que você precisa para o Klotski e os quebra-cabeças de tirar o carro, em que as peças têm tamanhos diferentes. Se quiser um tabuleiro para testar, jogue um aqui: o nosso Sliding Puzzle grátis roda no navegador em 3x3, 4x4 e 5x5, e todo embaralhamento que ele sorteia tem solução.

As regras: uma casa vazia, e metade dos embaralhamentos não tem solução

Um quebra-cabeça de peças deslizantes é uma moldura quadrada de peças numeradas com uma casa faltando. Você desliza qualquer peça vizinha ao espaço vazio para dentro dele, e o objetivo é deixar as peças em ordem, da esquerda para a direita e de cima para baixo, com o espaço vazio no canto inferior direito. A versão 3×3 é o jogo do 8, a 4×4 é o jogo do 15 e a 5×5 é o jogo do 24, nomes que vêm do número de peças de cada um.

Arranque as peças, recoloque tudo ao acaso, e exatamente metade das disposições que você pode montar nunca terá solução. Deslizar nunca altera uma grandeza escondida chamada paridade, e dá para conferi-la com um lápis. Leia as peças da esquerda para a direita, de cima para baixo, pulando o espaço vazio, e conte cada par em que um número maior vem antes de um menor. Cada par desses é uma inversão.

• Larguras ímpares (3×3, 5×5): o quebra-cabeça tem solução exatamente quando o número de inversões é par.
• Larguras pares (4×4): some a linha em que está o espaço vazio, contando as linhas de 1 a 4 a partir de cima. O quebra-cabeça tem solução exatamente quando esse total é par. (Se contar as linhas a partir de baixo, você precisa de um total ímpar. Mesma regra, de ponta-cabeça.)

Um exemplo resolvido no 3×3. Pegue o tabuleiro 1 3 _ / 4 2 5 / 7 8 6, com o espaço vazio no canto superior direito. Lendo em sequência, dá 1, 3, 4, 2, 5, 7, 8, 6. As inversões são 3 antes de 2, 4 antes de 2, 7 antes de 6 e 8 antes de 6: quatro, que é par, então tem solução. São quatro movimentos: deslize o 3 para a direita, o 2 para cima, o 5 para a esquerda e o 6 para cima. Agora pegue um tabuleiro resolvido e troque o 7 e o 8 de lugar. Isso dá uma inversão, ímpar, e nenhuma sequência de deslizes vai consertar.

Foi a versão 4×4 dessa armadilha que deixou o jogo do 15 famoso. Ele virou febre nos Estados Unidos em 1880, e o criador de quebra-cabeças Sam Loyd afirmou mais tarde ter oferecido um prêmio de US$ 1.000 para quem partisse de um tabuleiro resolvido com o 14 e o 15 trocados e conseguisse acertá-los. Uma inversão, mais o espaço vazio na linha 4, dá 5: ímpar, portanto impossível. O dinheiro do prêmio nunca correu risco. Qualquer quebra-cabeça digital bem-feito se embaralha fazendo movimentos válidos a partir de um tabuleiro resolvido, então o da sua tela tem solução. Um de plástico que o seu irmão desmontou na marra pode não ter.

O 3×3 (jogo do 8) sai em quatro etapas

As linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. “Travar” significa que, dali em diante, o espaço vazio nunca mais passa por aquelas casas.

1. Peça 1 no lugar. Gire o espaço vazio para trazer o 1 até o canto superior esquerdo. Trave.
2. Peças 2 e 3 como par empilhado. Coloque o 2 no canto superior direito (a casa do 3, não a dele) e o 3 logo abaixo, na linha 2, coluna 3. Leve o espaço vazio até a casa do meio da linha de cima passando pela linha 2, nunca pelo canto. Deslize o 2 para a esquerda e depois o 3 para cima. Linha de cima pronta. Trave.
3. Peças 4 e 7 como par empilhado, de lado. Coloque o 7 na casa do 4 (linha 2, coluna 1) e o 4 logo à direita dele, no centro. Leve o espaço vazio até o canto inferior esquerdo pela linha de baixo. Deslize o 7 para baixo e depois o 4 para a esquerda. Coluna da esquerda pronta. Trave.
4. Peças 5, 6 e 8: gire. O que sobra é um quadrado 2×2 com três peças e o espaço vazio. Gire o espaço vazio em volta dele sempre no mesmo sentido e as três peças vão rodando até se encaixarem. No sentido certo, nunca leva mais de seis movimentos; se a primeira volta não der em nada, vá no sentido contrário.

O motivo do par empilhado: se você coloca o 2 primeiro, o único caminho do 3 até o canto passa pela casa do 2, então encaixar o 3 expulsa o 2. Empilhar os dois antes e girar põe ambos no lugar em dois deslizes. A maioria das pessoas tenta a versão de uma peça por vez várias vezes antes de acreditar nisso. Nós tentamos mais vezes do que a maioria.

O 4×4 (jogo do 15): duas linhas, duas colunas e depois um giro

O jogo do 15 é o mesmo plano com uma etapa a mais. Resolva a linha 1 (peças 1 a 4) e a linha 2 (5 a 8) como linhas, depois as duas linhas de baixo coluna por coluna: 9 e 13, depois 10 e 14, e por fim gire 11, 12 e 15 para o lugar no último 2×2. Em cada linha, as duas primeiras peças são fáceis; leve uma de cada vez. Só o último par precisa do truque.

As duas últimas peças de uma linha, movimento por movimento

Aqui está o passo a passo para a linha 1, com as peças 1 e 2 já no lugar e travadas.

1. Primeiro, tire a peça 4 do caminho. Se o 4 estiver na linha 1 ou na linha 2, leve-o para a linha 3 ou mais para baixo. Isso evita que ele vá parar na casa errada no passo 2.
2. Coloque a peça 3 no canto superior direito (linha 1, coluna 4), que é a casa do 4, não a do 3.
3. Traga a peça 4 para a casa logo abaixo dela (linha 2, coluna 4), mexendo só em peças das linhas 2 a 4, para o 3 continuar no canto.
4. Leve o espaço vazio para a linha 2, coluna 3, ao lado da peça 4, de novo sem tocar na linha 1. Depois deslize para baixo, até o espaço vazio, a peça que estiver na linha 1, coluna 3. Agora o espaço vazio está na casa do 3, com o 3 à direita dele e o 4 abaixo do 3.
5. Deslize o 3 para a esquerda. Deslize o 4 para cima. A linha 1 está pronta. Trave.

A linha 2 funciona do mesmo jeito: o 5 e o 6 entram um de cada vez, depois o 7 vai para a linha 2, coluna 4, com o 8 embaixo dele na linha 3, coluna 4, o espaço vazio vai para a linha 2, coluna 3, e vêm os mesmos dois deslizes: 7 para a esquerda, 8 para cima.

As duas linhas de baixo, uma coluna por vez

Com as linhas 1 e 2 travadas, sobram duas linhas de quatro: 9, 10, 11, 12 em cima de 13, 14, 15 e o espaço vazio. Resolver por linhas não funcionaria aqui, porque não há linha sobrando para estacionar peças, então você avança por colunas, usando o mesmo truque do par, só que deitado.

1. Coluna 1 (peças 9 e 13). Coloque o 13 na casa do 9 (linha 3, coluna 1) e o 9 logo à direita dele (linha 3, coluna 2). Leve o espaço vazio pela linha 4 até a linha 4, coluna 1. Deslize o 13 para baixo e depois o 9 para a esquerda. Trave a coluna.
2. Coluna 2 (peças 10 e 14). Mesma coisa, uma coluna adiante: o 14 na linha 3, coluna 2, o 10 na linha 3, coluna 3, o espaço vazio na linha 4, coluna 2. Deslize o 14 para baixo e o 10 para a esquerda. Trave.
3. O último 2×2 (11, 12 e 15). Gire o espaço vazio em volta do quadrado até as três se encaixarem, exatamente como no 3×3. Se o embaralhamento era válido, elas vão se encaixar.

Este método é confiável, não curto. Um computador buscando o caminho mais curto nunca precisa de mais de 80 movimentos de uma peça em qualquer jogo do 15, e só 17 posições exigem todos os 80. O método linha por linha gasta mais do que isso, mas dá para fazer sem parar para pensar, e para uma pessoa isso importa muito mais do que o número de movimentos.

O 5×5 (jogo do 24) é um 4×4 com uma linha e uma coluna a mais

Todo tabuleiro maior se descasca até virar o tamanho de baixo. No 5×5, resolva a linha 1 (peças 1 a 5, com o 4 e o 5 como par empilhado), depois a coluna da esquerda abaixo dela (6, 11, 16 e 21, com o 16 e o 21 como par deitado: o 21 na casa do 16, o 16 à direita dele, espaço vazio embaixo, deslize o 21 para baixo e o 16 para a esquerda). Trave as duas, e o que sobra é um 4×4 formado pelas peças 7 a 10, 12 a 15, 17 a 20 e 22 a 24. Resolva exatamente como acima, lendo os números como posições, e não como 1 a 15.

Você também pode simplesmente seguir linha por linha até a linha 3 e depois fazer as duas linhas de baixo por colunas; os dois caminhos terminam no mesmo giro do 2×2. O 5×5 tem cerca de 7.76×10²⁴ disposições alcançáveis, e ninguém ainda conseguiu determinar quantos movimentos exige a pior delas. Os limites mais recentes que encontramos, de 2016, colocam esse número em algum ponto entre 152 e 205 movimentos de uma peça.

Klotski e quebra-cabeças de tirar o carro pedem outro método

O método linha por linha só funciona quando todas as peças têm o mesmo tamanho. O Klotski, e toda a família de quebra-cabeças de blocos deslizantes a que ele pertence, mistura peças de formatos diferentes, e não há linha para terminar, porque nada tem um lugar numerado. Só uma peça importa: a que você está tentando tirar.

A posição inicial clássica do Klotski é uma moldura 4×5 com dez peças: um bloco grande 2×2 no alto, no meio, um bloco 2×1 deitado embaixo dele, dois quadradinhos 1×1 embaixo deste e, de cada lado, dois blocos 1×2 em pé com um quadradinho 1×1 na base. As duas casas vazias ficam juntas, embaixo, no meio. O objetivo é levar o bloco 2×2 até o meio da parte de baixo e para fora pela abertura da moldura. Na China, o mesmo quebra-cabeça se chama Huarong Dao, e o bloco grande é o senhor da guerra Cao Cao em plena fuga, o que é muito enredo para uns pedaços de madeira.

1. Planeje primeiro o caminho da peça-alvo. Trace, casa por casa, o trajeto que o bloco grande (ou o carro em fuga) precisa fazer até a saída, antes de mexer em qualquer coisa.
2. Trabalhe de trás para a frente a partir da saída. Para o próximo passo desse trajeto, pergunte o que precisa estar vazio, qual peça está no caminho e para onde essa peça pode ir. Depois pergunte o mesmo sobre o que estiver no caminho dela. Essa corrente é o verdadeiro quebra-cabeça.
3. No Klotski, mantenha os dois espaços vazios juntos. Um bloco 1×2 em pé só se move de lado para dentro de duas casas vazias uma sobre a outra, o bloco 2×1 deitado precisa de duas lado a lado para subir ou descer, e o bloco grande sempre precisa de duas. Separar os espaços vazios deixa metade das peças encalhada.
4. Conte movimentos como peças movidas, não casas. No Klotski, uma peça que desliza até qualquer ponto que consiga alcançar conta como um movimento, e por essa contagem a posição clássica exige pelo menos 81. Um plano do tipo “este bloco até a parede da esquerda” é mais fácil de guardar na cabeça do que uma lista de passinhos de uma casa.

Os quebra-cabeças de carros deslizantes, a família do Rush Hour, acrescentam mais uma regra: cada veículo fica preso à própria faixa, então um carro atravessado no tabuleiro só vai para a esquerda e para a direita. Isso deixa a corrente de trás para a frente ainda mais útil, porque cada bloqueador tem poucos lugares onde pode parar. Quando isso fizer sentido, o próximo passo é cortar o número de movimentos, uma habilidade à parte que explicamos em Mais rápido em quebra-cabeças Rush Hour.

3x3, 4x4, 5x5 e Klotski lado a lado

Erros comuns que impedem você de fechar o tabuleiro

• Colocar as duas últimas peças de uma linha uma de cada vez. A segunda sempre expulsa a primeira. Empilhe as duas e gire.
• Deixar o espaço vazio voltar para uma linha pronta. Cada visita lá em cima desfaz trabalho. Se um caminho exigir isso, encontre outro caminho.
• Fazer as duas linhas de baixo como linhas. Não há onde estacionar uma peça. Mude para colunas quando sobrarem duas linhas.
• Tratar o último 2×2 como três peças separadas. É um giro só. Dê a volta e, se a primeira volta não fizer nada, vá no sentido contrário.
• Errar a conta da paridade. Não conte o espaço vazio como peça e, no 4×4, não se esqueça de somar a linha do espaço vazio.
• Separar os dois espaços vazios no Klotski. Os blocos maiores precisam dos dois lado a lado para conseguir se mexer.

Onde jogar quebra-cabeça deslizante online: o nosso jogo do 15 grátis, depois o Car Parking

O tabuleiro para o método acima é o nosso Sliding Puzzle, grátis no navegador, sem download e sem cadastro. Escolha 3×3, 4×4 ou 5×5, com peças numeradas ou uma imagem de golpe, e a paridade de cada embaralhamento é conferida antes de você vê-lo, então você nunca pega um da metade impossível. O Desfazer é ilimitado, e o jogo guarda o seu melhor número de movimentos e o seu melhor tempo em cada tamanho. A limitação: esses recordes ficam no seu navegador, então limpar os dados do site ou jogar numa janela anônima apaga tudo.

Para o lado Klotski e Rush Hour da família, experimente o Car Parking: um pátio 6×6, um carro dourado encurralado pelo trânsito e cada veículo preso à própria faixa. Um movimento é um veículo estacionando num lugar novo, não importa quanto ele tenha deslizado, e cada um dos 240 níveis mostra um par que é a solução mais curta que o nosso solucionador encontrou, com três dicas por nível. Ele treina o método de trás para a frente a partir da saída, e não o de linha por linha. O Getaway Garage move todos os veículos de uma vez a cada deslize e elimina trios iguais, o que faz dele outro quebra-cabeça de novo, e o nosso post História dos quebra-cabeças de engarrafamento começa pela febre do jogo do 15, se você quiser os bastidores.

A regra de decisão é curta. Se todas as peças têm o mesmo tamanho, termine as linhas a partir de cima, passe para colunas nas duas últimas linhas e gire o quadrado final. Se as peças são diferentes, escolha a única peça que precisa escapar e planeje de trás para a frente a partir da saída. Teste o primeiro num Sliding Puzzle 4×4 e o segundo no Car Parking, ambos grátis no seu navegador.