Jak ułożyć przesuwankę: 3x3, 4x4 i 5x5 krok po kroku

Żeby ułożyć przesuwankę, dokończ górny rząd, potem rząd pod nim i idź tak dalej, aż zostaną tylko dwa rzędy; te dwa układaj kolumna po kolumnie od lewej, a ostatni kwadrat 2×2 ułoży się sam, kiedy poprowadzisz puste pole dookoła niego. Jedyny trik, jakiego potrzebujesz, dotyczy dwóch ostatnich kafelków każdego rzędu i każdej kolumny: wchodzą na miejsce razem, jako para ustawiona jeden nad drugim, a nie po jednym.

To cała metoda i działa tak samo na planszy 3×3, 4×4 i 5×5. Niżej rozpisujemy ją ruch po ruchu, razem z testem parzystości, który mówi, czy planszę w ogóle da się ułożyć, i z innym planem, potrzebnym w Klotski i łamigłówkach z uciekającym autem, gdzie elementy mają różne rozmiary. Jeśli chcesz od razu spróbować na planszy, zagraj tutaj: nasza darmowa Sliding Puzzle działa w przeglądarce w wersjach 3x3, 4x4 i 5x5, a każde tasowanie, które rozdaje, da się ułożyć.

Zasady: jedno puste pole, a połowy tasowań nie da się ułożyć

Przesuwanka to kwadratowa ramka z ponumerowanymi kafelkami, w której brakuje jednego. Kafelek sąsiadujący z pustym polem wsuwasz w tę lukę, a celem jest ułożenie kafelków po kolei, od lewej do prawej i z góry na dół, z pustym polem w prawym dolnym rogu. Wersja 3×3 to przesuwanka 8, 4×4 to przesuwanka 15, czyli piętnastka, a 5×5 to przesuwanka 24. Nazwy biorą się od liczby kafelków.

Wyjmij kafelki z ramki i włóż je z powrotem na chybił trafił: dokładnie połowy możliwych ułożeń nie da się nigdy rozwiązać. Przesuwanie nie zmienia pewnej ukrytej wielkości, zwanej parzystością, a sprawdzisz ją ołówkiem. Odczytaj kafelki od lewej do prawej i z góry na dół, pomijając puste pole, i policz każdą parę, w której większa liczba stoi przed mniejszą. Każda taka para to inwersja.

• Nieparzysta szerokość (3×3, 5×5): przesuwankę da się ułożyć wtedy i tylko wtedy, gdy liczba inwersji jest parzysta.
• Parzysta szerokość (4×4): dodaj numer rzędu, w którym jest puste pole, licząc rzędy od 1 do 4 od góry. Przesuwankę da się ułożyć wtedy i tylko wtedy, gdy ta suma jest parzysta. (Jeśli liczysz rzędy od dołu, suma musi być nieparzysta. Ta sama zasada, tylko do góry nogami.)

Przykład na planszy 3×3. Weźmy układ 1 3 _ / 4 2 5 / 7 8 6, z pustym polem w prawym górnym rogu. Odczytane po kolei daje 1, 3, 4, 2, 5, 7, 8, 6. Inwersje to 3 przed 2, 4 przed 2, 7 przed 6 i 8 przed 6: razem cztery, czyli parzyście, więc da się ułożyć. Wystarczą cztery ruchy: 3 w prawo, 2 w górę, 5 w lewo i 6 w górę. Teraz weź ułożoną planszę i zamień miejscami 7 i 8. To jedna inwersja, nieparzyście, i żadna sekwencja przesunięć tego nie naprawi.

To właśnie wersja tej pułapki na 4×4 rozsławiła przesuwankę 15. W 1880 roku w Stanach Zjednoczonych wybuchło na nią szaleństwo, a twórca łamigłówek Sam Loyd twierdził później, że wyznaczył nagrodę 1000 dolarów dla każdego, kto zacznie od ułożonej planszy z zamienionymi 14 i 15 i doprowadzi ją do porządku. Jedna inwersja plus puste pole w rzędzie 4 daje 5: nieparzyście, więc niemożliwe. Pieniądze z nagrody nigdy nie były zagrożone. Każda porządnie zrobiona cyfrowa przesuwanka tasuje się legalnymi ruchami, zaczynając od ułożonej planszy, więc ta na twoim ekranie ma rozwiązanie. Fizyczna, którą rodzeństwo rozebrało na części, wcale nie musi.

Przesuwanka 3×3 (8) wychodzi w czterech etapach

Rzędy numerujemy od góry, kolumny od lewej. „Zablokuj” znaczy, że od tej chwili puste pole nigdy nie przechodzi przez te pola.

1. Kafelek 1 na miejsce. Prowadź puste pole dookoła, aż 1 trafi do lewego górnego rogu. Zablokuj go.
2. Kafelki 2 i 3 jako para jeden nad drugim. Postaw 2 w prawym górnym rogu (na polu kafelka 3, nie na swoim), a 3 tuż pod nim, w rzędzie 2, kolumnie 3. Doprowadź puste pole na środkowe pole górnego rzędu przez rząd 2, nigdy przez róg. Przesuń 2 w lewo, potem 3 w górę. Górny rząd gotowy. Zablokuj go.
3. Kafelki 4 i 7 jako para, tym razem obok siebie. Postaw 7 na polu kafelka 4 (rząd 2, kolumna 1), a 4 tuż na prawo od niego, w środku planszy. Doprowadź puste pole do lewego dolnego rogu dolnym rzędem. Przesuń 7 w dół, potem 4 w lewo. Lewa kolumna gotowa. Zablokuj ją.
4. Kafelki 5, 6 i 8: obrót. Zostaje kwadrat 2×2 z trzema kafelkami i pustym polem. Prowadź puste pole dookoła w jednym kierunku, a trzy kafelki będą krążyć, aż wskoczą na miejsca. W dobrym kierunku nigdy nie trwa to dłużej niż sześć ruchów; jeśli pierwsze okrążenie nic nie daje, kręć w drugą stronę.

Skąd ta para jeden nad drugim? Jeśli najpierw wstawisz 2 na miejsce, jedyna droga kafelka 3 do rogu prowadzi przez pole kafelka 2, więc wstawiając 3, wybijesz 2. Jeśli najpierw ustawisz je w parze i obrócisz, oba trafią na miejsca w dwóch przesunięciach. Większość ludzi kilka razy próbuje wersji po jednym, zanim w to uwierzy. My próbowaliśmy częściej niż większość.

Przesuwanka 15 (4×4): dwa rzędy, dwie kolumny, potem obrót

Przesuwanka 15 to ten sam plan z jednym etapem więcej. Ułóż rząd 1 (kafelki od 1 do 4) i rząd 2 (od 5 do 8) jako rzędy, a dwa dolne rzędy kolumna po kolumnie: 9 i 13, potem 10 i 14, na koniec obróć 11, 12 i 15 na miejsca w ostatnim kwadracie 2×2. W każdym rzędzie dwa pierwsze kafelki są łatwe: prowadź je na miejsca po jednym. Trik jest potrzebny tylko przy ostatniej parze.

Dwa ostatnie kafelki rzędu, ruch po ruchu

Oto przebieg dla rzędu 1, kiedy kafelki 1 i 2 są już na miejscach i zablokowane.

1. Najpierw usuń z drogi kafelek 4. Jeśli 4 jest w rzędzie 1 lub 2, zepchnij go do rzędu 3 albo niżej. Dzięki temu nie zabłądzi na złe pole w kroku 2.
2. Postaw kafelek 3 w prawym górnym rogu (rząd 1, kolumna 4), czyli na polu kafelka 4, nie swoim.
3. Sprowadź kafelek 4 na pole tuż pod nim (rząd 2, kolumna 4), ruszając tylko kafelki z rzędów od 2 do 4, żeby 3 został w rogu.
4. Doprowadź puste pole do rzędu 2, kolumny 3, obok kafelka 4, znów nie ruszając rzędu 1. Potem przesuń w dół, w puste pole, kafelek, który stoi w rzędzie 1, kolumnie 3. Puste pole jest teraz na miejscu kafelka 3, z 3 po prawej i 4 pod 3.
5. Przesuń 3 w lewo. Przesuń 4 w górę. Rząd 1 gotowy. Zablokuj go.

Rząd 2 idzie tak samo: 5 i 6 wchodzą po jednym, potem 7 do rzędu 2, kolumny 4, z 8 pod nim w rzędzie 3, kolumnie 4, puste pole do rzędu 2, kolumny 3 i te same dwa przesunięcia: 7 w lewo, 8 w górę.

Dwa dolne rzędy, po jednej kolumnie

Gdy rzędy 1 i 2 są zablokowane, zostają dwa rzędy po cztery: 9, 10, 11, 12 nad 13, 14, 15 i pustym polem. Rzędami się tu nie da, bo nie ma wolnego rzędu, w którym można odstawić kafelki, więc idziesz w poprzek, kolumnami, tym samym trikiem z parą obróconym na bok.

1. Kolumna 1 (kafelki 9 i 13). Postaw 13 na polu kafelka 9 (rząd 3, kolumna 1), a 9 tuż na prawo od niego (rząd 3, kolumna 2). Doprowadź puste pole rzędem 4 do rzędu 4, kolumny 1. Przesuń 13 w dół, potem 9 w lewo. Zablokuj kolumnę.
2. Kolumna 2 (kafelki 10 i 14). To samo o jedną kolumnę dalej: 14 w rzędzie 3, kolumnie 2, 10 w rzędzie 3, kolumnie 3, puste pole do rzędu 4, kolumny 2. Przesuń 14 w dół, 10 w lewo. Zablokuj ją.
3. Ostatni kwadrat 2×2 (11, 12 i 15). Prowadź puste pole dookoła kwadratu, aż wszystkie trzy wskoczą na miejsca, dokładnie jak na 3×3. Jeśli tasowanie było legalne, wskoczą.

Ta metoda jest niezawodna, a nie krótka. Komputer szukający najkrótszej drogi nigdy nie potrzebuje więcej niż 80 przesunięć pojedynczego kafelka na żadnej przesuwance 15, a pełnych 80 wymaga tylko 17 pozycji. Rząd po rzędzie zajmuje więcej, ale da się to robić bez zatrzymywania się na myślenie, a dla człowieka to znaczy dużo więcej niż liczba ruchów.

Przesuwanka 5×5 (24) to 4×4 z dodatkowym rzędem i kolumną

Każdą większą planszę obiera się do tej o rozmiar mniejszej. Na 5×5 ułóż rząd 1 (kafelki od 1 do 5, z 4 i 5 jako parą jeden nad drugim), potem lewą kolumnę pod nim (6, 11, 16 i 21, z 16 i 21 jako parą obok siebie: 21 na polu kafelka 16, 16 na prawo od niego, puste pole poniżej, przesuń 21 w dół i 16 w lewo). Zablokuj jedno i drugie, a zostanie plansza 4×4 z kafelków od 7 do 10, od 12 do 15, od 17 do 20 i od 22 do 24. Ułóż ją dokładnie jak wyżej, traktując numery jako pozycje, a nie jako liczby od 1 do 15.

Możesz też po prostu iść dalej rząd po rzędzie aż do rzędu 3, a potem ułożyć dwa dolne rzędy kolumnami; obie drogi kończą się tym samym obrotem kwadratu 2×2. Przesuwanka 5×5 ma około 7.76×10²⁴ osiągalnych ułożeń i nikt jeszcze nie ustalił, ilu ruchów potrzebuje najtrudniejsze z nich. Najnowsze oszacowania, jakie znaleźliśmy, z 2016 roku, mieszczą tę liczbę gdzieś między 152 a 205 przesunięciami pojedynczego kafelka.

Klotski i łamigłówki z uciekającym autem wymagają innej metody

Rząd po rzędzie działa tylko wtedy, gdy wszystkie elementy mają ten sam rozmiar. Klotski i cała rodzina łamigłówek z przesuwanymi klockami, do której należy, mieszają elementy o różnych kształtach i nie ma tam rzędu do dokończenia, bo nic nie ma ponumerowanego miejsca. Liczy się tylko jeden element: ten, który próbujesz wydostać.

Klasyczna pozycja startowa Klotski to ramka 4×5 z dziesięcioma elementami: jeden duży klocek 2×2 na górze pośrodku, pod nim leżący klocek 2×1, pod tym dwa małe kwadraty 1×1, a po bokach po dwa stojące klocki 1×2 z kwadratem 1×1 na dole. Dwa puste pola są obok siebie na dole pośrodku. Celem jest sprowadzenie klocka 2×2 na dół pośrodku i wyprowadzenie go przez otwór w ramce. W Chinach ta sama łamigłówka nazywa się Huarong Dao, a duży klocek to wódz Cao Cao, który ucieka przed pościgiem. Sporo fabuły jak na kawałek drewna.

1. Najpierw zaplanuj trasę elementu docelowego. Zanim cokolwiek ruszysz, prześledź pole po polu drogę, którą duży klocek (albo uciekające auto) musi przebyć do wyjścia.
2. Pracuj od wyjścia wstecz. Przy kolejnym kroku tej trasy zapytaj, co musi być puste, który element stoi na drodze i gdzie ten element może się podziać. Potem zadaj to samo pytanie o wszystko, co stoi na drodze jemu. Ten łańcuch to właściwa łamigłówka.
3. W Klotski trzymaj oba puste pola razem. Stojący klocek 1×2 przesunie się w bok tylko na dwa puste pola jedno nad drugim, leżący klocek 2×1 potrzebuje dwóch obok siebie, by ruszyć w górę lub w dół, a duży klocek zawsze potrzebuje dwóch. Rozdzielenie pustych pól unieruchamia połowę elementów.
4. Licz ruchy jako przesunięte elementy, nie pola. W Klotski element przesunięty w dowolne miejsce, do którego dosięgnie, to jeden ruch i przy takim liczeniu klasyczny start wymaga co najmniej 81 ruchów. Plan w rodzaju „ten klocek pod lewą ścianę” łatwiej utrzymać w głowie niż listę pojedynczych kroków.

Łamigłówki z przesuwanymi autami, czyli rodzina Rush Hour, dodają jeszcze jedną zasadę: każdy pojazd jest przypisany do swojego pasa, więc auto ustawione w poprzek planszy jeździ tylko w lewo i w prawo. Przez to łańcuch od wyjścia wstecz jest jeszcze przydatniejszy, bo każda przeszkoda może skończyć tylko w kilku miejscach. Kiedy to załapiesz, szybsze rozwiązywanie łamigłówek w stylu Rush Hour sprowadza się do ścinania liczby ruchów, a to już osobna umiejętność.

3x3, 4x4, 5x5 i Klotski w skrócie

Typowe błędy, przez które plansza zostaje nieułożona

• Wstawianie dwóch ostatnich kafelków rzędu po jednym. Drugi zawsze wybija pierwszy. Ustaw je w parę i obróć.
• Wpuszczanie pustego pola z powrotem do gotowego rzędu. Każda wycieczka w górę psuje zrobioną robotę. Jeśli trasa tego wymaga, znajdź inną trasę.
• Układanie dwóch dolnych rzędów jako rzędów. Nie ma gdzie odstawić kafelka. Gdy zostaną dwa rzędy, przejdź na kolumny.
• Traktowanie ostatniego kwadratu 2×2 jak trzech osobnych kafelków. To jeden obrót. Kręć dookoła, a jeśli pierwsze okrążenie nic nie daje, kręć w drugą stronę.
• Błędne liczenie parzystości. Nie licz pustego pola jako kafelka, a na 4×4 nie zapomnij dodać numeru rzędu pustego pola.
• Rozdzielanie dwóch pustych pól w Klotski. Większe klocki potrzebują obu, obok siebie, żeby w ogóle się ruszyć.

Gdzie zagrać w przesuwankę online: nasza darmowa przesuwanka 15, potem Car Parking

Plansza do metody opisanej wyżej to nasza własna Sliding Puzzle, darmowa w przeglądarce, bez pobierania i rejestracji. Wybierz 3×3, 4×4 albo 5×5, z ponumerowanymi kafelkami albo obrazkiem ze skoku, a każde tasowanie zostanie sprawdzone pod kątem parzystości, zanim je zobaczysz, więc nigdy nie trafisz na tę niemożliwą połowę. „Cofnij” działa bez limitu, a gra zapisuje twój najlepszy wynik ruchów i najlepszy czas dla każdego rozmiaru. Jej ograniczenie: te rekordy są zapisane tylko w twojej przeglądarce, więc wyczyszczenie danych witryny albo gra w oknie prywatnym je kasuje.

Do tej części rodziny, do której należą Klotski i Rush Hour, wypróbuj Car Parking: parking 6×6, złote auto zastawione przez inne pojazdy i każdy pojazd przypisany do swojego pasa. Ruch to jeden pojazd zaparkowany w nowym miejscu, niezależnie od tego, jak daleko pojechał, a każdy z 240 poziomów pokazuje par, czyli najkrótsze rozwiązanie, jakie znalazł nasz solver, z trzema podpowiedziami na poziom. Ćwiczy się tu metodę od wyjścia wstecz, a nie rząd po rzędzie. Getaway Garage przy każdym przesunięciu palcem rusza wszystkie pojazdy naraz i usuwa pasujące trójki, więc to jeszcze inna łamigłówka, a nasza historia łamigłówek z korkami zaczyna się od szaleństwa na punkcie przesuwanki 15, jeśli interesuje cię tło.

Zasada wyboru jest krótka. Jeśli wszystkie elementy mają ten sam rozmiar, kończ rzędy od góry, przy dwóch ostatnich rzędach przejdź na kolumny i obróć ostatni kwadrat. Jeśli elementy się różnią, wybierz ten jeden, który musi uciec, i planuj wstecz od wyjścia. Pierwszy sposób wypróbuj na Sliding Puzzle 4×4, drugi w Car Parking. Obie gry są darmowe i działają w przeglądarce.